Матрицы широко используются при решении обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных, решении оптимальных задач и т. п.

Алгебраические задачи, связанные с матрицами, объединяются в раздел математики, получивший название линейной алгебры, который включает такие базисные задачи, как обращение и псевдообращение матриц, спектральное и сингулярное разложение матриц.

В вычислительном плане раздел линейной алгебры поддержан пакетами прикладных программ LINPACK, EISPACK, разработанными в 60-70-е годы ведущими специалистами, к числу которых принадлежит и основатель фирмы The MathWorks, Inc. Моулер (C. Moler). Изначальное назначение системы MATLAB состояло именно в том, чтобы создать диалоговую среду для работы с пакетами программ линейной алгебры.

Несмотря на кажущуюся завершенность, этот раздел развивается и в настоящее время в направлении создания новых операций: для работы с парами матриц (приведение пары матриц к форме Шура, рекуррентное сингулярное разложение пары прямоугольных матриц), решения матричных полиномов и полиномиальных матричных уравнений.

Рассмотрим функции системы MATLAB, которые поддерживают работу с матрицами, в следующей последовательности: характеристики матриц, решение систем линейных уравнений, вычисление собственных значений и сингулярных чисел, вычисление функций от матриц, работа с алгебраическими полиномами.

Характеристики матриц

• COND - число обусловленности матрицы
• NORM - нормы векторов и матриц
• RCOND - оценка числа обусловленности матрицы
• RANK - ранг матрицы
• DET - определитель матрицы
• TRACE - след матрицы
• NULL - нуль-пространство (ядро) матрицы
• ORTH - ортонормальный базис матрицы
• SUBSPACE - угол между двумя подпространствами
• RREF - треугольная форма матрицы

Решение линейных уравнений

• \, / - решатели систем линейных уравнений
• CHOL - разложение Холецкого
• LU - LU-разложение
• INV - обращение матрицы
• PINV - псевдообращение матрицы по Муру-Пенроузу
• QR, QRDELETE, QRINSERT - QR-разложение
• PLANEROT - преобразование Гивенса
• NNLS - метод наименьших квадратов с ограничениями
• LSCOV - метод наименьших квадратов в присутствии шумов

Вычисление собственных значений и сингулярных чисел

• EIG, CDF2RDF - собственные значения и собственные векторы матрицы
• BALANCE - масштабирование матрицы
• HESS - приведение к форме Хессенберга
• SCHUR, RSF2CSF - приведение к форме Шура
• CPLXPAIR - сортировка комплексносопряженных пар
• QZ - прведение пары матриц к обобщенной форме Шура
• POLYEIG - вычисление собственных значений матричного полинома
• SVD - сингулярное разложение матрицы

Вычисление функций от матриц

• EXPM, EXPM1, EXPM2, EXPM3 - вычисление матричной экспоненты
• LOGM - вычисление логарифма матрицы
• SQRTM - вычисление функции A ^1/2
• FUNM - вычисление произвольных функций от матрицы

Полиномы и операции над ними

• POLYVAL - вычисление полинома
• POLYVALM - вычисление матричного полинома
• CONV - умножение полиномов
• DECONV - деление полиномов
• POLYDER - вычисление производных
• ROOTS - вычисление корней полиномов
• POLY - вычисление характеристического полинома
• RESIDUE, RESI2 - разложение на простые дроби