Синтаксис:

            s = svd(A)
            [U, S, V] = svd(A)
            [U, S, V] = svd(A, 0)

Описание:

Если A - действительная матрица размера m х n (m >= n), то ее можно представить в виде [1]:

            A = U * S * V^T,

где U^TU = V * V^T = In и S = diag(s₁, ...s_n).

Такое разложение называется сингулярным разложением матрицы A.

Матрица U сформирована из n ортонормированных собственных векторов, соответствующих n наибольшим собственным значениям матрицы AA^T, а матрица V - из ортонормированных собственных векторов матрицы A^TA. Диагональные элементы матрицы S - неотрицательные значения квадратных корней из собственных значений матрицы A^TA; они называются сингулярными числами.

Допустим, что s₁>= s₂ >=... >= s_n >= 0. Если ранг матрицы A равен r, то значения s_r+1 = s_r+2 = ... = s_n = 0.

Существует другое, более экономное сингулярное разложение:

            A = U_r * S_r * V_r^T,

где U_r^TU_r = V_r * V_r^T = I_r и S_r = diag(s₁, ..., s_r).

Функция s = svd(A) вычисляет только сингулярные числа матрицы A.

Функция [U, S, V] = svd(A) вычисляет диагональную матрицу S тех же размеров, которые имеет и матрица A с неотрицательными диагональными элементами в порядке их убывания, а также унитарные матрицы преобразований U и V.

Функция [U, S, V] = svd(A, 0) выполняет экономное сингулярное разложение.

Пример 1: Рассмотрим прямоугольную матрицу размера 4 х 2.

           A =

Полное сингулярное разложение

            [U, S, V] = svd(A)

Экономное сингулярное разложение

           [U, S, V] = svd(A, 0)

Пример 2:

Рассмотрим матрицу порядка 5, которая в пределах ошибок округления имеет только нулевые собственные значения [2].

                 A = chebspec(5)

                [U, S, V] = svd(A^3)

semilogy(svd(A3))	plot(eig(A3)

Из анализа графиков следует, что 3 сингулярных числа имеют значения меньше 10^-14 и существенно отличаются от остальных; собственные значения находятся в круге радиусом 0.5 * 10^-6, то есть являются кратными. Дефект матрицы A³ равен трем.

В рассматриваемом случае это означает, что имеется 3 клетки Жордана, порядок которых пока неизвестен. Применяя пакет прикладных программ JORD [3], можно установить, что в данном случае имеется одна клетка первого и две клетки второго порядка.

Алгоритм:

Функция svd(A) использует модуль svd пакета LINPACK [4].

Пакет программ JORD можно запросить по следующему адресу электронной почты: potem@mephi.ru.

Диагностические сообщения:

Если в течение 75 итераций QR-преобразования сингулярные значения не найдены, выдается сообщение
             Solution will not converge.
             Решение не сходится.

Ссылки:

1. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1976. 390 с.

2. Higham N. J. The Test Matrix Toolbox for MATLAB (version 3.0)//Numerical Analysis Report. Manchester. 1995. Vol. 276.

3. Потемкин В. Г. Пакет программ JORD. М.: МИФИ, 1995.

4. Dongarra J. J., Bunch J. R., Moler C. B., Stewart G. W. LINPACK User’s Guide. Philadelphia, 1979.