Синтаксис:

           [R, d] = polyeig(A₀, A₁, ..., A_p)

Описание:

Функция [R, d] = polyeig(A₀, A₁, ..., A_p) решает полную проблему собственных значений для матричного полинома степени p вида

         (A₀ + l * A₁ + ... + l ^p * A_p) * r = 0.

Входными переменными этой функции являются p+1 квадратная матрица A₀, A₁, ..., A_p порядка n. Выходными переменными - матрица собственных векторов R размера n х (n х p) и вектор собственных значений d длины n х p.

Для некоторых значений p и n функция polyeig становится равносильной другим функциям системы MATLAB:

• p = 0, функция polyeig(A) равносильна функции eig(A);
• p = 1, функция polyeig(A, B) равносильна функции eig(A, -B);
• n = 1, функция polyeig(a0, a1, ..., ap) для скаляров a0, ..., ap, равносильна функции roots([ap .. a1 a0]).

Алгоритм:

Задача сводится к решению обобщенной проблемы собственных значений для пары матриц A и B порядка n х p. В частном случае, когда p = 4, эти матрицы имеют вид

    A = ;        B = ;

Если одна (но не обе) из матриц A₀ или A_p вырожденна, то некоторые из собственных значений могут оказаться равными нулю или Inf.

Если обе матрицы A₀ и A_p вырожденны, то задача оказывается плохо обусловленной. С точки зрения теории это означает, что решения может не существовать или оно может быть неединственным. С вычислительной точки зрения решение может оказаться неточным.

В алгоритме сделана попытка выявить эту ситуацию и сформировать соответствующее предупреждение.

Диагностические сообщения:

Если обе матрицы A₀ и A_p близки к вырожденным, выдается сообщение
           Warning: Rank deficient generalized eigenvalue problem.
           Eigenvalues are not well determined. Results may be inaccurate.
           Предупреждение: Неполный ранг для обобщенной проблемы.
           Собственные значения плохо обусловлены. Результат может быть неточным.

Замечание:

Функция polyeig включена в систему MATLAB начиная с версии 4.2c.

Сопутствующие функции: EIG, ROOTS, QZ.