Синтаксис:

          [AA, BB, Q, Z, V] = qz(A, B)

Описание:

Многие задачи линейной алгебры - решение матричных уравнений Сильвестра и Риккати, смешанныx систем дифференциальных и линейных алгебраических уравнений, приводят к необходимости одновременного приведения пары матриц к форме Шура.

Функция [AA, BB, Q, Z, V] = qz(A, B) возвращает комплексные верхние треугольные матрицы AA и BB, соответствующие матрицы приведения Q и Z, а также вектор обобщенных собственных векторов V, так что

            Q * A * Z = AA;
            Q * B * Z = BB.

Обобщенные собственные значения могут быть найдены исходя из следующего условия:

            A * V * diag(BB) = B * V * diag(AA).

Пример:

Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в неявной форме Коши с одним входом и одним выходом

задачи вычисления полюсов и нулей соответствующей передаточной функции определяются следующим образом [1]:

• вычисление полюсов
             Rr = -lQr;
• вычисление нулей

                     .

Нетрудно видеть, что обе задачи требуют решения обобщенной проблемы собственных значений.

Описание системы:

Расчет полюсов:

            [AA, BB] = qz(R, -Q)

Расчет нулей:

              [AA, BB] = qz(A, B)

Алгоритм:

Средством вычисления формы Шура для пары матриц {A, B} является созданный Моулером и Стьюартом QZ-алгоритм [2-3], который реализован в рамках пакета EISPACK [4] и использует модули qzhes, qzit, qzval и qzvec.

Сопутствующие функции: EIG.

Ссылки:

1. Потемкин В. Г., Кутузова Г. Н. Особенности исследования дискретно-непрерывных комплексов на ЭВМ. Учеб. пособие. М.: МИФИ, 1988. 56 с.

2. Икрамов Х. Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984. 192 с.

3. Moler C. B., Stewart G. W. An Algorithm for Generalized Matrix Eigenvalue Problems//SIAM J. Numer. Anal. 1973. N 2. Vol. 10.

4. Garbow B. S., Boyle J. M., Dongarra J. J., Moler C. B. Matrix Eigensystem Routines - EISPACK Guide Extension//Lecture Notes in Computer Science. Berlin, 1977. Vol. 51.