Синтаксис:

              [r, p, k] = residue(b, a)
              coeff = resi2(u, v, pole, n, k)
              [b, a] = residue(r, p, k)

Описание:

Функция p = [r, p, k] = residue(b, a) вычисляет вычеты, полюса и многочлен целой части отношения двух полиномов b(s) и a(s):

        простые корни:

;

• входные переменные - векторы b и a определяют коэффициенты полиномов числителя и знаменателя по убывающим степеням s;
• выходные переменные - вектор-столбец r вычетов, вектор-столбец p полюсов и вектор-строка k целой части дробно-рациональной функции;
• количество полюсов определяется по формуле:
             n = length(a) - 1 = length(r) = length(p);
• вектор коэффициентов многочлена прямой передачи будет пустым, если length(b) < length(a); в противном случае length(k) = length(b) -length(a) + 1;

       кратные корни:

если p(j) = . . . =p(j+m-1) - полюс кратности m, то разложение на простые дроби включает член [1]

.

Функция rj = resi2(b, a, pole, m, j) вычисляет вектор коэффициентов разложения дробно-рациональной функции b(s)/a(s) для полюса pole, имеющего кратность m. Параметр j указывает, какой из коэффициентов rj вычисляется при данном обращении к функции; по умолчанию j = m; если не указано m, то оно принимается за 1, то есть функция определяет вычеты для простых корней.

Функция [b, a] = residue(r, p, k) с тремя входными и двумя выходными параметрами выполняет обратную функцию свертки разложения в дробно-рациональную функцию отношения двух полиномов b(s) и a(s):

Пример 1:

Рассмотрим дробно-рациональную функцию отношения двух полиномов b(x)/a(x) с некратными корнями.

        ;
        [r, p, k] = residue(b, a)

Поскольку порядок числителя меньше порядка знаменателя, целая часть функции отсутствует.

Пример 2:

Поменяем местами числитель и знаменатель дробно-рациональной функции.

          ;
          [ra, pa, ka] = residue(a, b)

В этом случае появляется целая часть функции, определяемая вектором ka.

Пример 3:

Обратимся к случаю кратных корней и рассмотрим следующую дробно-рациональную функцию:

          ;

Пример 4:

Обратимся к результатам примера 1. Зная их, восстановим исходную дробно-рациональную функцию, используя следующее обращение:

           [b1, a1] = residue(r, p, k)

          
           norm(a - a1) = 4.3739e-015

В пределах погрешности компьютера результаты совпадают.

Ограничения:

В вычислительном плане разложение дробно-рациональной функции на простые дроби плохо обусловлено. Если полином знаменателя имеет корни, близкие к кратным, то малые возмущения исходных данных могут привести к большим погрешностям вычисления полюсов и вычетов. Предпочтительнее использовать описание в пространстве состояний или представление таких функций в виде нулей и полюсов.

Сопутствующие функции: POLY, ROOTS.

Ссылки:

1. Oppenheim A. V., Schafer R. W. Digital Signal Processing. Prentice-Hall, 1975, P. 56-58.