Синтаксис:

              P = pinv(A)
              P = pinv(A, tol)

Описание:

Функция P = pinv(A) вычисляет матрицу, псевдообратную матрице A, которая имеет такие же размеры, как и матрица A’, и удовлетворяет следующим условиям [1]:

              A * P * A = A;
              P * A * P = P.

Вычисление матрицы P основано на использовании функции svd(A) и приравнивании к нулю всех сингулярных чисел, меньших величины tol, которая по умолчанию принимается равной tol = max(size(A)) * norm(A) * eps.

Функция P = pinv(A, tol) позволяет пользователю самому назначить порог tol.

Если матрица A квадратная и невырожденная, то вычисление обратной на основе псевдообращения является слишком расточительной процедурой. Если A - квадратная и вырожденная или прямоугольная матрица, то обратной матрицы не существует; в этих случаях псевдообратная матрица обладает некоторыми, но не всеми свойствами обратной.

Если A имеет строк больше, чем столбцов, и не является матрицей полного ранга, то возникает переопределенная задача наименьших квадратов

Вектор x минимизирует указанную норму тогда и только тогда, когда x имеет вид

               x = pinv(A) * b + (I - pinv(A) * A) * z

для некоторого z.

Выберем два из бесконечного множества решений:

               x = pinv(A) * b;
               y = A \ b.

Эти решения характеризуются следующими свойствами: решение x имеет норму norm(x), которая минимальна в сравнении с нормой любого другого решения; решение y имеет минимальное количество ненулевых компонентов.

Пример:

Рассмотрим прямоугольную матрицу, которая генерируется следующим образом:

               A = magic(8); A = A(:, 1:6).

Эта матрица размером 8 х 6 имеет ранг, равный 3.

Сформируем вектор b = 260 * ones(8, 1).

Тогда получим следующие решения

Вектор z, удовлетворяющий условию y = x + (I - pinv(A) * A) * z, равен

        z’ = [ 5.7517    9.6751     4.6404    5.8559    7.8906     1.5362 ]

Сопутствующие функции: RANK, INV, SVD, QR.

Ссылки:

1. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание: Пер. с англ. М.:Наука, 1977. 224 с.