Синтаксис:

            T = schur(A)
            [U, T] = schur(A)
            [U, T] = rsf2csf(U,T)

Описание:

Функция T = schur(A) возвращает матрицу в форме Шура. Комплексная форма Шура - это верхняя треугольная матрица с собственными значениями на диагонали; действительная форма Шура сохраняет на диагонали действительные собственные значения, а комплексные представляются в виде блоков 2 х 2, частично занимая нижнюю поддиагональ.

Функция [U, T] = schur(A) кроме матрицы Шура T возвращает также унитарную матрицу преобразований U, которая удовлетворяет условиям

           A = U * H * U’, U’ * U = eye(size(A)).

Если исходная матрица A действительная, то возвращается действительная форма Шура, если комплексная, то комплексная форма Шура. Функции cdf2rdf и rsf2csf обеспечивают преобразование из одной формы в другую.

Функция [U, T] = rsf2csf(U, T) преобразовывает действительную квазитреугольную форму Шура в комплексную треугольную.

Пример:

Рассмотрим приведение тестовой матрицы с двумя кратными комплексными и одним действительным собственными значениями к действительной форме Шура [1].

         [U, T] = schur(A)

Преобразуем действительную квазитреугольную форму Шура в комплексную треугольную.

             [U1, T1] = rsf2csf(U, T)
   U1 =

     T1 =

Алгоритм:

Для действительных матриц функция schur(A) использует следующие модули пакета EISPACK [2-3]: ortran, orthes и hqr2. Модуль orthes осуществляет приведение матрицы к верхней форме Хессенберга посредством ортогональных подобных преобразований; модуль ortran запоминает все преобразования. Модуль hqr2 вычисляет собственные значения матрицы в верхней форме Хессенберга на основе QR-алгоритма Франсиса - Кублановской.

Для комплексных матриц функция schur(A) использует модули qzhes, qzit, qzval и qzvec пакета EISPACK.

Сопутствующие функции: HESS, EIG, QZ.

Ссылки:

1. Уилкинсон, Райнш. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра: Пер. с англ. М.: Машиностроение, 1976. 390 с.

2. Smith B. T., Boyle J. M., Dongarra J. J., Garbow B. S., Ikebe Y., Klema V., Moler C. B.. Matrix Eigensystem Routines - EISPACK Guide//Lecture Notes in Computer Science. Berlin, 1976. Vol. 6.

3. Garbow B. S., Boyle J. M., Dongarra J. J., Moler C. B.. Matrix Eigensystem Routines - EISPACK Guide Extension//Lecture Notes in Computer Science. Berlin, 1977. Vol. 51.