Выбрав интересующую Вас тему, Вы сможете ознакомиться с примерами. Все примеры решены в среде математического пакета Mathcad, документы Mathcad (Mathcad 2000) доступны для просмотра и скачивания. После каждого примера помещена ссылка на соответствующую теоретическую справку.

Обыкновенные дифференциальные уравнения 1 порядка. Основные понятия

• Пример 1. Различные формы записи дифференциальных уравнений первого порядка
• Пример 2. Проверка правильности решения дифференциального уравнения первого порядка
• Пример 3. Интегральные кривые и графики решений дифференциальных уравнений
• Пример 4. Поле направлений и интегральные кривые
• Пример 5. Общее решение дифференциального уравнения
• Пример 6. Пример нарушения единственности решения задачи Коши

Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка

• Пример 1. Решение задачи Коши методом Эйлера
• Пример 2. Решение задачи Коши методом Эйлера с шагом h и h/2
• Пример 3. Геометрическая интерпретация метода Эйлера
• Пример 4. Решение задачи Коши методом Рунге-Кутты 4-го порядка
• Пример 5. Сравнение приближенных решений, вычисленных методом Эйлера и Рунге-Кутты
• Пример 6. Решение задачи Коши методом Рунге-Кутты с шагом h и h/2, оценка погрешности

Дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

• Пример 1. Уравнение с разделяющимися переменными. Общее решение
• Пример 2. Уравнение с разделяющимися переменными. Решение задачи Коши
• Пример 3. Уравнение с разделяющимися переменными, имеющее два семейства решений
• Пример 4. Уравнение с разделяющимися переменными, имеющее несколько семейств решений

Дифференциальные уравнения первого порядка в полных дифференциалах

• Пример 1. Общий интеграл уравнения в полных дифференциалах
• Пример 2. Решение задачи Коши для уравнения в полных дифференциалах

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод вариации произвольных постоянных

• Пример 1. Общее решение линейного однородного уравнения первого порядка
• Пример 2. Решение задачи Коши для линейного однородного уравнения первого порядка
• Пример 3. Общее решение линейного неоднородного уравнения первого порядка
• Пример 4. Решение задачи Коши для линейного неоднородного уравнения первого порядка

Дифференциальные уравнения высших порядков

• Пример 1. Уравнение движения материальной точки
• Пример 2. Уравнение изменения объема производства в замкнутой экономической системе
• Пример 3. Решение уравнения гармонического осциллятора
• Пример 4. Интегральная кривая для уравнения затухающих колебаний
• Пример 5. Решения задачи Коши для уравнения изменения объема производства в замкнутой экономической системе при различных начальных условиях
• Пример 6. Решение задачи Коши методом Рунге-Кутты для дифференциального уравнения второго порядка

Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

• Пример 1. Интегральная кривая для системы дифференциальных уравнений 2-го порядка
• Пример 2. Численное решение задачи Коши для системы дифференциальных уравнений 2-го порядка методом Рунге-Кутты. Графики численного решения
• Пример 3. Сведение задачи Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка к задаче Коши для системы дифференциальных уравнений 2-го порядка

Линейные дифференциальные уравнения

• Пример 1. Проверка принципа суперпозиции для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

• Пример 1. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых действительных корней
• Пример 2. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных действительных корней
• Пример 3. Фундаментальная система решений и общее решение для случая п простых действительных корней
• Пример 4. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней. Мнимые корни
• Пример 5. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных комплексных корней
• Пример 6. Решение задачи Коши

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

• Пример 1. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен. Резонанса нет
• Пример 2. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен. Резонанс есть
• Пример 3. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен, умноженный на экспоненту. Резонанса нет
• Пример 4. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен, умноженный на экспоненту. Резонанс есть
• Пример 5. Решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части обобщенный многочлен

Метод вариации произвольных постоянных решения задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами

• Пример 1. Решение методом вариации задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами
• Пример 2. Решение методом вариации произвольных постоянных задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения 3-го порядка с постоянными коэффициентами
• Пример 3. Решение методом вариации произвольных постоянных задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения 4-го порядка с постоянными коэффициентами
• Пример 4. Общее решение для линейного неоднородного дифференциального уравнения 4-го порядка с постоянными коэффициентами

Автономные системы на плоскости. Фазовая плоскость. Векторное поле

• Пример 1. Фазовые кривые автономной системы
• Пример 2. Типы фазовых кривых
• Пример 3. Точки покоя автономной системы
• Пример 4. Векторное поле автономной системы

Точки покоя автономной линейной системы

• Пример 1. Поведение решений в окрестности устойчивого узла
• Пример 2. Поведение решений в окрестности неустойчивого узла
• Пример 3. Поведение решений в окрестности седла
• Пример 4. Поведение решений в окрестности центра
• Пример 5. Поведение решений в окрестности устойчивого фокуса
• Пример 6. Поведение решений в окрестности неустойчивого фокуса
• Пример 7. Поведение решений в окрестности диакритического узла
• Пример 8. Вырожденный случай. Прямая, состоящая из точек покоя

Автономные системы на плоскости. Предельные циклы

• Пример 1. Виды фазовых кривых
• Пример 2. Устойчивый предельный цикл
• Пример 3. Неустойчивый предельный цикл
• Пример 4. Полуустойчивый предельный цикл

Жесткие системы дифференциальных уравнений

• Пример 1. Интегрирование жесткой системы дифференциальных уравнений

Решение задачи Коши операционным методом

• Пример 1. Отыскание изображения и оригинала
• Пример 2. Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
• Пример 3. Решение задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Приложения обыкновенных дифференциальных уравнений к задачам биологии и экономики

• Пример 1. Динамика популяций
• Пример 2. Модель "хищник-жертва" с логистической поправкой
• Пример 3. Модель Холлинга-Тэннера
• Пример 4. Выравнивание цен