Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


 
  Для студентов, изучающих высшую математику
Примеры по теме "Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами" курса ОДУ

Пример 1 ~ Пример 2Пример 3 ~ Пример 4 ~ Пример 5 ~ Пример 6

 

Пример 1. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых действительных корней

Рассмотрим уравнение  y'' - 3y' + 2y = 0.
Его характеристическое уравнение  l2 - 3l + 2 = 0
имеет два различных действительных корня  l1 =1 и l2 =2.
Фундаментальная система решений уравнения:
y1 = exp(l1x)=exp(x) и y2 = exp(l2x)=exp(2x)
Общее решение уравнения: y(x) = c1exp(x) + c2exp(2x).

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

В начало страницы

Пример 2. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных действительных корней

Рассмотрим уравнение y''- 2y' + y = 0.
Его характеристическое уравнение l2 - 2l + 1 = 0
имеет один кратный действительный корень l1 = l2 = 1.
Фундаментальная система решений уравнения:  y1 = exp(x) и y2= xexp(x)
Общее решение уравнения: y(x) = c1exp(x) + c2xexp(x).

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

В начало страницы

 

Пример 3. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней

Рассмотрим уравнение y'' - 2y' + 5y = 0.
Его характеристическое уравнение  l2 - 2l + 5 = 0
имеет пару комплексно сопряженных корней  l1 = 1-2i, l2 = 1+ 2i.
Фундаментальная система решений уравнения: exp(x)cos2x, exp(x)sin2x.
Общее решение уравнения: y(x) = c1exp(x)cos2x + c2exp(x)sin2x.

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

В начало страницы

Пример 4. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней. Мнимые корни

Рассмотрим уравнение y'' + y = 0.
Его характеристическое уравнение l2 + 1 = 0
имеет пару комплексно сопряженных корней l1 =i, l2 = -i.
Фундаментальная система решений уравнения: cosx, sinx
Общее решение уравнения: y(x) = c1cosx + c2sinx.

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

В начало страницы

 

Пример 5. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных  комплексных корней

Рассмотрим уравнение y''''- 4y''' + 14y'' - 20y' + 25y = 0.
Его характеристическое уравнение l4- 4l3 + 14l2 - 20l + 25 = 0
имеет пару кратных комплексно сопряженных корней
l1,2 =1- 2i, l3,4 = 1 + 2 i.
Фундаментальная система решений уравнения:
y1 = exp(x)cos2x, y2= exp(x)sin2x, y3 = xexp(x)cos2x и y4 = xexp(x)sin2x.
Общее решение уравнения:
y(x) = c1exp(x)cos2x + c2exp(x)sin2x + c3xexp(x)cos2x + c4xexp(x)sin2x.

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

В начало страницы

Пример 6. Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для однородного дифференциального уравнения
y'' + 2y' + 3y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1.
Его характеристическое уравнение l2 + 2l + 3 = 0
имеет пару комплексно сопряженных корней l1 = -1-ex6_1.gif (890 bytes)i, l2 = -1 + ex6_1.gif (890 bytes)i.
Фундаментальная система решений содержит два решения
exp(-x)cosex6_1.gif (890 bytes)x, y=exp(-x)sinex6_1.gif (890 bytes)x,
его общее решение имеет вид
y(x) = c1exp(-x)cosex6_1.gif (890 bytes)x + c2exp(-x)sinex6_1.gif (890 bytes)x.
Решение задачи Коши y(0)=1, y'(0)=1 находим из условий
y(0) = c1exp(0)cos(0) + c1exp(0)sin(0) = c1 =1,
y'(0) = -c1exp(0)cos(0) -c1 ex6_1.gif (890 bytes)exp(0)sin(0) - c2exp(0)sin(0) + c2ex6_1.gif (890 bytes)exp(0)cos(0) =
= - c1 + ex6_1.gif (890 bytes) c2 =1,  откуда c1 = 1 и c2 = ex6_1.gif (890 bytes) . Подставив константы в выражение для общего решения получим решение задачи Коши
y
(x) = exp(-x)cosex6_1.gif (890 bytes) x + ex6_1.gif (890 bytes)exp(-x)sin ex6_1.gif (890 bytes)x.

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

В начало страницы

 

Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2017. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100