Пример 1 ~ Пример 2 ~ Пример 3 ~ Пример 4 ~ Пример 5 ~ Пример 6

Пример 1. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых действительных корней

Рассмотрим уравнение  y'' - 3y' + 2y = 0.
Его характеристическое уравнение  l² - 3l + 2 = 0
имеет два различных действительных корня  l₁ =1 и l₂ =2.
Фундаментальная система решений уравнения:
y₁ = exp(l₁x)=exp(x) и y₂ = exp(l₂x)=exp(2x)
Общее решение уравнения: y(x) = c₁exp(x) + c₂exp(2x).

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

Пример 2. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных действительных корней

Рассмотрим уравнение y''- 2y' + y = 0.
Его характеристическое уравнение l² - 2l + 1 = 0
имеет один кратный действительный корень l₁ = l₂ = 1.
Фундаментальная система решений уравнения:  y₁ = exp(x) и y₂= xexp(x)
Общее решение уравнения: y(x) = c₁exp(x) + c₂xexp(x).

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

Пример 3. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней

Рассмотрим уравнение y'' - 2y' + 5y = 0.
Его характеристическое уравнение  l² - 2l + 5 = 0
имеет пару комплексно сопряженных корней  l₁ = 1-2i, l₂ = 1+ 2i.
Фундаментальная система решений уравнения: exp(x)cos2x, exp(x)sin2x.
Общее решение уравнения: y(x) = c₁exp(x)cos2x + c₂exp(x)sin2x.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

Пример 4. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней. Мнимые корни

Рассмотрим уравнение y'' + y = 0.
Его характеристическое уравнение l² + 1 = 0
имеет пару комплексно сопряженных корней l₁ =i, l₂ = -i.
Фундаментальная система решений уравнения: cosx, sinx
Общее решение уравнения: y(x) = c₁cosx + c₂sinx.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

Пример 5. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных  комплексных корней

Рассмотрим уравнение y''''- 4y''' + 14y'' - 20y' + 25y = 0.
Его характеристическое уравнение l⁴- 4l³ + 14l² - 20l + 25 = 0
имеет пару кратных комплексно сопряженных корней
l_1,2 =1- 2i, l_3,4 = 1 + 2 i.
Фундаментальная система решений уравнения:
y₁ = exp(x)cos2x, y₂= exp(x)sin2x, y₃ = xexp(x)cos2x и y₄ = xexp(x)sin2x.
Общее решение уравнения:
y(x) = c₁exp(x)cos2x + c₂exp(x)sin2x + c₃xexp(x)cos2x + c₄xexp(x)sin2x.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

Пример 6. Решение задачи Коши

Рассмотрим задачу Коши для однородного дифференциального уравнения
y'' + 2y' + 3y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 1.
Его характеристическое уравнение l² + 2l + 3 = 0
имеет пару комплексно сопряженных корней l₁ = -1-i, l₂ = -1 + i.
Фундаментальная система решений содержит два решения
exp(-x)cosx, y=exp(-x)sinx,
его общее решение имеет вид
y(x) = c₁exp(-x)cosx + c₂exp(-x)sinx.
Решение задачи Коши y(0)=1, y'(0)=1 находим из условий
y(0) = c₁exp(0)cos(0) + c₁exp(0)sin(0) = c₁ =1,
y'(0) = -c₁exp(0)cos(0) -c₁ exp(0)sin(0) - c₂exp(0)sin(0) + c₂exp(0)cos(0) =
= - c₁ + c₂ =1,  откуда c₁ = 1 и c₂ = . Подставив константы в выражение для общего решения получим решение задачи Коши
y(x) = exp(-x)cos x + exp(-x)sin x.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>