Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


 
  Для студентов, изучающих высшую математику
Примеры по теме " Дифференциальные уравнения высших порядков" курса ОДУ

Пример 1 ~ Пример 2 ~ Пример 3 ~ Пример 4 ~ Пример 5 ~ Пример 6

 

Пример 1. Движение материальной точки массы m под действием внешних сил F описывается вторым законом Ньютона ma = F .
Пусть точка движется по оси 0x , тогда функция x = x(t) — абсцисса точки в момент времени t , удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению 2-го порядка mx'' = F(t, x, x').
Например, уравнение
x'' + w2x=0
— уравнение гармонического осциллятора, описывает периодические колебания материальной точки с периодом T=2p/w.

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

В начало страницы

Пример 2. Изменение объема производства в некоторой замкнутой экономической системе описывает дифференциальное уравнение второго порядка
y'' +2|k|y' + w2y = 0.
В замкнутой экономической системе нет экспорта, импорта и притока капитала извне. Уравнение описывает поведение разности
y(x)=Y(x)-G/s
между объемом производства Y(x) и фиксированной величиной G/s отношения правительственных расходов к предельной склонности населения к сбережению.
Ниже приведен график решения уравнения при k=0.25, w2=0.25.
Колебания решения уравнения около нуля соответствуют периодам спада и подъема в экономике.
График решения, построенный в Mathcad

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

В начало страницы

Пример 3. Уравнение гармонического осциллятора
x'' + w2x = 0
описывает периодические колебания материальной точки с периодом T=2p/w2. Легко проверить, что
x=С1cos(wt)+С2sin(wt) является решением уравнения гармонического осциллятора при любых значениях констант С1 и С2.

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

В начало страницы

Пример 4.  Уравнение второго порядка
x'' + 2ax' + bx = 0
при a2<b описывает затухающие (ангармонические) колебания.
Ниже приведен график решения уравнения для a=0.1, b=1.

График решения, построенный в Mathcad

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

В начало страницы

Пример 5. Изменение объема производства в некоторой замкнутой экономической системе описывает дифференциальное уравнение второго порядка
y'' +2|k|y' + w2y = 0.
В замкнутой экономической системе нет экспорта, импорта и притока капитала извне. Уравнение описывает поведение разности y(x)=Y(x)-G/s
между объемом производства Y(x) и фиксированной величиной G/s отношения правительственных расходов к предельной склонности населения к сбережению.
Ниже приведены графики решений уравнения при k=0.25, w2=0.25 при различных начальных условиях. Видно, что колебания решений около нуля — периоды спада и подъема в экономике — зависят от начального состояния системы.
Графики решений, построенные в Mathcad

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

В начало страницы

Пример 6. Решим методом Рунге-Кутте задачу Коши для дифференциального уравнения второго порядка
y'' + 16y = 3cos(4.1x), y(0)=0, y'(0)=0.

Вернуться на страницу <Курс ОДУ. Примеры>

В начало страницы

 

Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2017. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100