Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Банк задач  |  Форум  |  Download  |  Ссылки  |  Конкурсы


 
  Для студентов, изучающих высшую математику
Примеры по теме "Нули аналитической функции" курса ТФКП.

Пример 1 ~ Пример 2 ~ Пример 3 ~ Пример 4

 

Пример 1. Определить порядок нуля z0 для функции f (z) = ez -1-z.

Решение.  Разложим функцию f (z) по степеням z:
ez -1- z = (1 + z + z2/2! + z3/3! +...) - 1 - z = z2/2! + z3/3! +...
Так как в полученном разложении коэффициент С2 = 1/2, т.е. не равен нулю, а предыдущие равны нулю С0 = С1 = 0, то заключаем, что точка z0 = 0 является нулем порядка n = 2 для заданной функции.

Вернуться на страницу <Курс ТФКП. Примеры>

В начало страницы

Пример 2. Найти нули функции и определить их порядок:
f (z) = (z4+2z+1)2(z2-2z+2).

Решение.  Раскладываем f(z) (многочлен) на множители:
f (z) = (z-i)4(z+i)2(z-(1+i))(z-(1+i)).

Находим нули функции: z1 = i, z2 = -i, z3 = 1+i, z4 = 1-i.

Определяем порядок каждого нуля.

Для точки z1 = i из равенства
image178 (396 bytes)
получаем, что z1 = i - нуль 4-го порядка.

Для точки z2 = -i аналогично находим, что это нуль 4-го порядка:
image179 (404 bytes)

Из равенства
image180 (420 bytes)
получаем, что z3 = 1+i - простой нуль.

Аналогично из
image181 (413 bytes)
имеем  z4 = 1-i  тоже простой нуль для f(z).

Уточним:
image182 (344 bytes)
image183 (341 bytes)
image184 (377 bytes)
image185 (376 bytes)

Вернуться на страницу <Курс ТФКП. Примеры>

В начало страницы

Пример 3. Найти нули функции и определить их порядок:
f (z) = 1+ch z.

Решение.  Решая уравнение 1+ch z = 0, имеем:
image186 (639 bytes)

image1871.gif (1412 bytes)

image1872.gif (1149 bytes)

Находим производные заданной функции и их значения в точках zk: image188 (604 bytes) image189 (626 bytes)
Так как
f (zk) = f '(zk) = 0 и image190 (183 bytes)то image191 (211 bytes)
является нулями второго порядка функции
f (z) = 1 + ch z.

Вернуться на страницу <Курс ТФКП. Примеры>

В начало страницы

Пример 4. Определить порядок нуля z0 = 0 функции:
image192 (331 bytes).

Решение.  Функция f (z) задана в виде произведения двух функций:
f (z) = f1(z)f2(z), где image193 (409 bytes)
Вычисляем порядок нуля в точке z0 = 0 для третьего сомножителя f1(z).
Записываем f1(z) в виде:
image194 (867 bytes)

Следовательно, z0 = 0 является нулем 4-го порядка (n1 = 4) для функции f1(z).

Для функции f2(z) = sin z точка z0 = 0 - нуль первого порядка, т.к. sin'(0) = cos(0) = 1 (т.е. не равно нулю). Поэтому, учитывая, что  f2(z) = sin5 z = sin z sinz sin z sin z sin z, получаем, что z0 = 0 - нуль 5-го порядка (n2 = 5) порядка для f2(z).

Поскольку f (z) = f1(z) f2(z), то получаем, что точка z0 = 0 является нулем 9-го порядка заданной функции, т.к. n = n1 + n2 = 4+5 = 9.

Вернуться на страницу <Курс ТФКП. Примеры>

В начало страницы

Карта сайта | На первую страницу | Поиск | О проекте | Сотрудничество | e-mail
Корпоративная почта | ActiveCloud | Антивирус Касперского | Matlab | Подписка на MSDN для вузов | ИТ-ПРОРЫВ

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Наши баннеры


Copyright © 1993-2017. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00

Softline – программное обеспечение, IT-консалтинг, лицензирование, обучение

подарки – подарочные сертификаты

 

            Rambler's Top100