Нули аналитической функции. Найти нули функции f(z) = ch(z)+1 и определить их порядок
Определим функцию и найдем ее нули - корни уравнения f(z)=0:



ex_5_3_9.jpg (1541 bytes) Для того чтобы определить функцию, введите ее имя, имя аргумента в скобках, знак присваивания (одновременно клавиши <Shift> и <=>) и выражение для вычисления функции
ex_5_3_8.jpg (1187 bytes) Для того чтобы найти корни уравнения f(z)=0, введите выражение для вычисления функции, выделите рамкой переменную z, затем выберите в меню Symbolic роцедуры Variable - Solve
ex_5_3_7.jpg (748 bytes)
Нуль функции - z=ip
Найдем производную f'(z) и вычислим ее значение в точке z=ip
ex_5_3_6.jpg (1514 bytes)   ex_5_3_5.jpg (1424 bytes)   ex_5_3_4.jpg (1143 bytes) Для того чтобы ввести мнимую единицу i, наберите на клавиатуре 1i и щелкните мышью вне выделяющей рамки
Найдем вторую производную f''(z) и вычислим ее значение в точке z=ip
ex_5_3_3.jpg (1701 bytes)   ex_5_3_2.jpg (1433 bytes)   ex_5_3_1.jpg (1179 bytes)

Из того, что f(ip)=f'(ip)=0, а вторая производная f''(ip)= -1 отлична от нуля, делаем вывод, что точка z = ip является нулем второго порядка.
А поскольку f(z) = 1+ch(z) - периодическая функция с периодом 2pi, то она имеет бесконечное множество нулей второго порядка:
точки zk = ip + 2kp являются нулями второго порядка функции f(z) = 1+ch(z)