Пример 1 ~ Пример 2 ~ Пример 3 ~ Пример 4 ~ Пример 5

Пример 1. Вычислить вычет функции f (z) = (z+2)/(z²-2z-3) в точке z = 3.

Решение.

Разложим функцию в ряд Лорана по степеням z - 3:

Из этого разложения находим  

Заметим, что здесь точка z = 3 - простой полюс.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Вычислить вычет функции f(z) в точке z = 0,  

Решение.

Запишем  

т.е. z = 0 - устранимая особая точка. Следовательно,  

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3. Вычислить вычет функции  

Так как   то z = 0 для f(z) - полюс второго порядка. Следовательно,  

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 4. Вычислить вычет функции f(z) = ctg 2z во всех ее особых точках.

Решение.

В точках    данная функция имеет полюсы первого порядка (простые полюсы), поскольку

Следовательно,

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 5. Вычислить вычет функции  

Решение.

Разложим замкнутую функцию в ряд Лорана в окрестности z = 1:

Из этого разложения следует, что z = 1 является существенной особой точкой и
С _-1 = 3/2, т.е.  

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica