Вычет функции ~ Вычисление вычетов

Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z₀ (точка принадлежит области комплексных чисел) называется интеграл вида:

где - контур, принадлежащий окрестности точки z₀ и охватывающий ее. Обход контура - положительный, т.е. область ограниченная им и принадлежащая окрестности z₀ при обходе расположена слева: обход против часовой стрелки.

Обозначается вычет                             

Вычет функции в конечной изолированной особой точке равен коэффициенту С_-1 при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при 1/(z-z₀) для z₀, принадлежащей области комплексных чисел:                       

ПРИМЕР 1. Вычисление вычета функции в ее конечных особых точках.

Если конечная особая точка z₀ является устранимой особой точкой функции f(z), то 

ПРИМЕР 2. Вычисление вычета в устранимой особой точке.

Если z₀ - полюс порядка n функции f(z), z₀ принадлежит области комплексных чисел, то

ПРИМЕР 3. Вычисление вычета в полюсе порядка n.

Если z₀ - простой полюс функции   ,
где аналитические функции в точке z₀ и ,
то  

ПРИМЕР 4. Вычисление вычета в простом полюсе.

Если z₀ - существенно особая точка функции f(z), то вычет в ней находится, исходя из определения, т.е. как С_-1 - коэффициент в разложении f(z) в ряд Лорана в окрестности z₀.

ПРИМЕР 5. Вычисление вычета в существенной особой точке.