© 2000 Seattle Central Community College публикуется с разрешения

(31 Кб, Maple)

В этом разделе Вы научитесь применять Maple при проведении стандартных численных расчётов. Уникальная способность Maple производить точные вычисления (наряду с приближенными) обеспечивает Вам дополнительные возможности при решении вычислительных задач.

01.01. Точная Арифметика с Maple

• Пример 01
• Пример 02
• Пример 03
• Пример 04
• Пример 05
• Пример 06
• Пример 07
• Пример 08
• Пример 09
• Пример 10
• Пример 11

01.02. Приближенные Вычисления При Помощи Команды evalf

• Пример 01
• Пример 02
• Пример 03
• Пример 04
• Пример 05
• Maple-сокращения: Быстрый вызов предыдущего результата

Упражнение 1.1

• Учебная площадка 1.1
• Ответ 1.1

Упражнение 1.2

• Учебная площадка 1.2
• Ответ 1.2

Упражнение 1.3

• Учебная площадка 1.3
• Ответ 1.3

Упражнение 1.4

• Учебная площадка 1.4
• Ответ 1.4

01.03. Работа С Переменными

01.01. Точная Арифметика с Maple

* Doing Exact Arithmetic with Maple *

Использование Maple при проведении численных расчётов выглядит довольно естественно. Следует только ввести число и завершить ввод командной строки символом " ; " ( точка с запятой ). Нажатие клавиши [ Enter ] при условии, что курсор размещен именно в этой командной строке, приведёт к тому, что вслед за командой в центре экрана появится результат, набранный синим шрифтом .

Пример 01

Введём представленными ниже командными строками простейшие вычислительные операции. Щёлкнув где-нибудь на красном поле строки и нажав клавишу [ Enter ] , получите результат.

> 2+4;

> 12*34567890;

Каждая командная строка - "живая" , т.е. её содержимое может быть подкорректировано в любой момент.

Замените цифру " 4 " в первой строке на " 8 " и нажмите [ Enter ] .

Отметьте для себя, как мгновенно на экране обновляется синяя строка результата.

Пример 02

В качестве следующего примера вычислим .

> 134^39;

В отличие от самого мощного микрокалькулятора, Maple (без дополнительных программных ухищрений) мгновенно выдаёт точный результат, все 83 значащие цифры!

Пример 03

Ещё одно достоинство Maple - он может точно выполнять действия с обыкновенными дробями без их обязательной конвертации в десятичную форму:

> 3/5 + 5/9 + 7/12;

Пример 04

При вводе арифметических квадратных корней используйте команду sqrt :

> sqrt(24);

Заметьте, что Maple автоматически упрощает иррациональность: вместо выводит .

В следующем параграфе Вы познакомитесь с тем, как получить десятичное приближение этого числа.

Пример 05

В Maple встроены фундаментальные математические константы. Например, чтобы ввести число , следует набрать с клавиатуры Pi . Вы уже заметили, что при вводе произведения множители следует обязательно разделять символом " * " ?

> 4*(3+Pi);

И вновь Maple выводит точное иррациональное число, а не его приближенную десятичную форму.

Пример 06

В отличие от Вашего калькулятора, Maple при малейшей возможности выводит точные значения функций, например, тригонометрических:

> sin(5*Pi/3);

> sec(Pi/4);

Чтобы найти значение арксинуса числа х , используйте функцию arcsin(х) :

> arcsin(-1);

Если Вы требуете от Maple вычислить значение функции в не принадлежащей её области определения точке, то получите сообщение об ошибке:

> tan(Pi/2);

Error, (in tan) numeric exception: division by zero

Пример 07

Чтобы ввести в Maple экспоненциальную функцию, следует набрать:

> exp(x);

Чтобы ввести само число е - основание натуральных логарифмов, наберите

> exp(1);

Пример 08

Чтобы ввести в Maple абсолютное значение переменной х , используйте команду abs(x) .

> abs(x);

> abs(-3);

> abs(exp(1)-Pi);

Заметьте, что Maple в последнем примере вновь отдаёт предпочтение точному числу , намекая, при этом, что оно - отрицательное !

Пример 09

Maple обладает многими специальными командами для работы с числами. Вы должны их изучить, т.к. они используются практически во всех разделах математики. Приведём пока лишь один пример такой команды. Если Вы желаете разложить целое число n на простые множители, то используйте для этого Maple-команду ifactor(n) . Не стесняйтесь экспериментировать, вводя самые фантастические целые (и не только!) числа.

> ifactor(31722722304);

Пример 10

В дальнейшем, Вам неоднократно придётся сталкиваться с необходимостью ввода сразу нескольких команд в одной линии. В Maple такая возможность предусмотрена. Если Вы при этом желаете вывести на экран результаты всех команд, то ввод каждой из них нужно завершать символом " ; " . Если Вы после этого нажмёте [ Enter ] , результаты выполнения команд будут выведены в виде упорядоченного столбца, в строгом соответствии с очередностью ввода команд.

> sin(Pi/3); cos(Pi/3); tan(Pi/3);

Пример 11

Чтобы вычислить и вывести на дисплей последовательность чисел, используйте команду seq . Ниже показывается, как вычислить квадраты первых 100 натуральных чисел:

> seq(k^2,k=1..100);

01.02. Приближенные Вычисления При Помощи Команды evalf

* Numerical Approximations using the evalf command *

Напомним, что в предыдущем параграфе мы просили Maple сложить три обыкновенные дроби. Результат был выведен также в виде обыкновенной дроби. Такой тип точных арифметических вычислений необычайно важен, но иногда предпочтительнее получить результат в десятичной (как правило - приближенной) форме. Нашим запросам в таких случаях отвечает команда evalf.

Пример 01

Сравните результаты двух следующих командных строк:

> 3/5+5/9+7/12;

> evalf(3/5+5/9+7/12);

Пример 02

Своевременное присвоение имени результату вычислений может в дальнейшем заметно облегчить Вашу работу. Чтобы присвоить имя k какому-то числу или функции K , используется оператор присваивания " := ", состоящий из двоеточия и знака равенства: k:=K; . В следующей командной строке имя " k " мы присвоим сумме обыкновенных дробей, а затем найдём десятичную форму этой суммы:

> k:=3/5+5/9+7/12;

> evalf(k);

Важная черта Maple : система чётко различает строчные и прописные буквы. Для Maple k и K - совершенно разные символы.

> k;

> K;

Кстати, в качестве имен, присваиваемых числам и переменным, Вы можете использовать слова и даже целые высказывания. В последнем случае пропуски между словами следует заполнять символом " _ " . ( В предыдущих версиях Maple не допускалось использование кириллицы в именах! ).

> Неуловимый_Джо:=2^5;

> sqrt(Неуловимый_Джо);

Пример 03

Если нам необходимо определенное количество десятичных цифр в записи результата (по умолчанию, Maple ограничивается десятью ), то нужно после аргумента в команде evalf указать необходимое число:

> w:=4*(3+Pi);

> evalf(w);

> evalf(w,4);

> evalf(w,45);

Пример 04

Если Вы введёте в командную строку хотя бы одно число, в котором целая часть отделена от дробной десятичной точкой , Maple автоматически выведет результат в десятичной форме.

Сравните результаты двух командных строк:

> sqrt(34);

> sqrt(34.0);

А вот другой пример:

> 4-1/3;

> 4.0-1/3;

Пример 05

Вы можете применить команду evalf и к числовой последовательности . Ниже вначале генерируются точные значения квадратных корней из первых 10 натуральных чисел, а затем, с помощью evalf , находятся их приближенные десятичные значения:

> result:=seq(sqrt(k),k=1..10);

> evalf(result);

Maple-сокращения: Быстрый вызов предыдущего результата

Из личного опыта Вы знаете, что промежуточные результаты вычислений частенько приходится не один раз переписывать. Работая с Maple, Вы избавлены от необходимости в возможно громоздком повторном наборе. При обращении к результату последней операции , используйте символ процента % :

> 3/5+5/9+7/12;

> evalf(%);

> Pi;

> evalf(%);

> %+5;

Другие подробности - см. в Упражнении 1.4.

Упражнение 1.1

Используя Maple, вычислить .

Учебная площадка 1.1

>

>

>

>

Ответ 1.1

> 37^43;

Упражнение 1.2

Вычислить с точностью до 18 цифр.

Учебная площадка 1.2

>

>

>

Ответ 1.2

> m:=sqrt(34);

> evalf(m,18);

Упражнение 1.3

Получить численное приближение для .

Учебная площадка 1.3

>

>

>

Ответ 1.3

> answer:=(3+Pi)/(7-sqrt(13));

> evalf(answer);

Упражнение 1.4

Символ процента % очень удобен для сокращения вычислительного процесса. Однако, можно получить и неожиданные (на первый взгляд) результаты. Например, прокомментируйте приведенные ниже три командные строки. На Ваш взгляд: что должно быть выведено на экран?

> 4+Pi;

> evalf(%);

> %+10;

А теперь вновь выполните последнюю команду (т.е. %+10; ). Заметьте, что теперь уже будет выведено вместо . Постарайтесь найти этому объяснение.

Учебная площадка 1.4

>

>

Ответ 1.4

Символ % эквивалентен последнему полученному результату. Повторно выполняя команду %+10; , Maple прибавляет 10 к . Для упрощения логики вычислений советуем почаще выполнять операцию присваивания числам собственных имен:

> a:=4+Pi;

> b:=evalf(a);

> b+10;

01.03. Работа С Переменными

* Clearing Variables *

Достаточно Вам однажды определить переменную, - и Maple будет помнить её значение на протяжении всей Вашей рабочей сессии на компьютере. Если Вам понадобилось переопределить переменную - просто выполните новую операцию присваивания.

Например, в каждой из приведенных ниже строк в преобразованиях участвует переменная h .( Замечание : для слежения за текущим значением переменной h не забывайте заканчивать ввод символом " точка с запятой ", а не " двоеточие ".)

> h;

> h:=56;

> h;

> h:=sqrt(Pi);

> h;

Иногда возникает желание "очистить" переменную в памяти для того, чтобы её имя впоследствии использовать в иных целях.

Например, присвоим переменной х значение 65 :

> x:=65;

Теперь предположим, что мы, начиная решение другой задачи, желаем присвоить имя w квадратному трёхчлену . Если без проволочек выполнить указанную операцию присваивания, Maple не задумываясь вместо переменной х подставит её численное значение:

> w:=x^2-4*x+7;

Чтобы переменная w предстала именно в алгебраической форме, мы должны "очистить" аргумент х от присвоенного ранее значения. На практике это означает подчистку внутренней памяти Maple. Это можно осуществить посредством операции x:='x'; . ( Не путайте только одинарные и двойные кавычки! )

Чтобы увидеть, как это работает, выполните приведенные ниже командные строки:

> x:='x';

> w:=x^2-4*x+7;

* Одновременная очистка всех переменных: команда restart *

Команда restart полностью очищает внутреннюю память Maple от всех определений, которые Вы совершили в процессе работы. Фактически, применение команды restart открывает новую Maple-сессию. Если Вы приступаете к решению совершенно новой задачи, советуем использовать restart для полной гарантии того, что предыдущие преобразования и вычисления не повлияют на её решение.

Выполнив первую из предложенных ниже командных линий, постарайтесь предсказать результат выполнения второй строки:

> p:=4;

> p; x; h;

Конечно, Вы видете, что переменной р присвоено значение " 4 ", а переменная х была очищена от своего предыдущего числового значения. Но очень вероятно, что Вы уже подзабыли, что переменной h было присвоено значение . Вот почему так соблазнительна идея частого использования команды restart , чтобы в одно мгновение очистить память Maple от "грязи" .(Если Вы будете внимательно прорабатывать материал нашей обучающей программы, то обратите внимание: большинство разделов начинается именно командой restart ) .

> restart;

> p; x; h;