Свойства решений неоднородных уравнений ~ Общее решение неоднородного уравнения ~ Метод подбора отыскания частных решений ~ Резонанс ~ Алгоритм отыскания общего решения неоднородного уравнения ~ Решение задачи Коши

Для линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = f(x), 

где y = y(x) — неизвестная функция, a₁(x), a₂(x), ..., a_n-1(x), a_n(x), f(x) — известные, непрерывные, справедливо:
1) если y₁(x) и y₂(x) — два решения неоднородного уравнения, то функция
y(x) = y₁(x) - y₂(x) — решение соответствующего  однородного уравнения;
2) если y₁(x) решение неоднородного уравнения, а  y₂(x) — решение соответствующего однородного уравнения, то функция
y(x) = y₁(x) + y₂(x) — решение неоднородного уравнения;
3) если  y₁(x), y₂(x), ...,  y_n(x) — n линейно независимых решений однородного уравнения, а y_ч(x) — произвольное решение неоднородного уравнения,
то для любых начальных значений
x₀,  y₀,   y_0,1, ..., y_0,n-1
существуют такие значения
c*₁, c*_n, ..., c*_n, что решение
y*(x)=c*₁ y₁(x) + c*₂ y₂(x) + ... + c*_n y_n (x) + y_ч(x)
удовлетворяет при x = x₀ начальным условиям
y*(x₀)=y₀, (y*)'(x₀)=y_0,1 , ...,(y*)^(n-1)(x₀)=y_0,n-1.

Выражение 
y(x)= c₁ y₁(x) +  c₂ y₂(x) + ... + c_n y_n(x)   + y_ч(x)
называется общим решением линейного неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Для отыскания частных решений неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами с правыми частями вида:
P_k(x)exp(ax)cos(bx) + Q_m(x)exp(ax)sin(bx),
где P_k(x), Q_m(x) — многочлены степени k и m соответственно, существует простой алгоритм построения частного решения, называемый методом подбора.

Метод подбора, или метод неопределенных коэффициентов, состоит в следующем.
Искомое решение уравнения записывается в виде:
(P_r(x)exp(ax)cos(bx) + Q_r(x)exp(ax)sin(bx))x^s,
где P_r(x), Q_r(x) — многочлены степени r = max(k, m) с неизвестными коэффициентами
p_r , p_r-1, ..., p₁, p₀, q_r, q_r-1, ..., q₁, q₀.
Сомножитель x^s называют резонансным сомножителем. Резонанс имеет место в случаях, когда среди корней характеристического уравнения есть корень
l =a ± ib  кратности s.
Т.е. если среди корней характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения есть такой, что его действительная часть совпадает с коэффициентом в показателе степени экспоненты, а мнимая — с коэффициентом в аргументе тригонометрической функции в правой части уравнения, и кратность этого корня s, то в искомом частном решении присутствует резонансный сомножитель x^s. Если же такого совпадения нет (s=0),  то резонансный сомножитель отсутствует.

Подставив выражение для частного решения  в левую часть уравнения, получим обобщенный многочлен того же вида, что и многочлен в правой части уравнения, коэффициенты которого неизвестны.
Два обобщенных многочлена равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при сомножителях вида x^texp(ax)sin(bx), x^texp(ax)cos(bx)  с одинаковыми степенями t.
Приравняв коэффициенты при таких сомножителях, получим систему 2(r+1) линейных алгебраических уравнений относительно 2(r+1) неизвестных. Можно показать, что такая система совместна и имеет единственное решение.

ПРИМЕР 1. Общее   решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен. Резонанса нет.

ПРИМЕР 2. Частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен. Резонанс есть.

ПРИМЕР 3. Общее   решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен, умноженный на экспоненту.  Резонанса нет.

ПРИМЕР 4. Общее   решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части многочлен, умноженный на экспоненту.  Резонанс есть.

Таким образом, для отыскания общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует
найти общее решение соответствующего однородного уравнения (записать характеристическое уравнение, найти все корни характеристического уравнения l₁, l₂, ... , l_n, записать фундаментальную систему решений y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x));
найти любое частное решение неоднородного уравнения y_ч(x);
записать выражение для общего решения
y(x)= c₁ y₁(x) +  c₂ y₂(x) + ... + c_n y_n(x) + y_ч(x);
Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных c₁,..., c_n, которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений 
c₁ y₁(x₀) +  c₂ y₂(x₀) + ... + c_n y_n(x₀) + y_ч(x₀)= y₀,
c₁ y'₁(x₀) +  c₂ y'₂(x₀) + ... + c_n y'_n(x₀)   + y_ч(x₀)=y_0,1,
......... ,
c₁ y₁^(n-1)(x₀) +  c₂ y₂^(n-1)(x₀) + ... + c_n y_n^(n-1)(x₀) + y_ч(x₀)= y_0,n-1

ПРИМЕР 5. Решение задачи Коши для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В правой части обобщенный многочлен.