Свойства решений ~ Фундаментальная система решений  ~ Общее решение ~ Характеристическое уравнение ~ Характеристический многочлен ~ Алгоритм отыскания общего решения однородного уравнения ~ Действительные корни (простые, кратные) ~ Комплексные корни (простые, кратные) ~ Решение задачи Коши

Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = 0, 

где y = y(x) — неизвестная функция, a₁(x), a₂(x), ..., a_n-1(x), a_n(x) — известные, непрерывные, справедливо:
1) существуют n линейно независимых решений уравнения
y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x);
2) при любых значениях констант c₁, c₂, ..., c_n функция
y(x)= c₁ y₁(x) +  c₂ y₂(x) + ... + c_n y_n(x)
является решением уравнения;
3) для любых начальных значений x₀,  y₀,   y_0,1, ..., y_0,n-1 существуют такие значения c*₁, c*_n, ..., c*_n, что решение
y*(x)=c*₁ y₁(x) + c*₂ y₂(x) + ... + c*_n y_n (x)
удовлетворяет при x = x₀ начальным условиям
y*(x₀)=y₀, (y*)'(x₀)=y_0,1 , ...,(y*)^(n-1)(x₀)=y_0,n-1.

Выражение  y(x)= c₁ y₁(x) +  c₂ y₂(x) + ... + c_n y_n(x) называется общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y(x) = exp(lx):
exp(lx)⁽ⁿ⁾ + a₁exp(lx)^(n-1) + ... + a_n-1exp(lx)' + a_nexp(lx)=
=  (lⁿ + a₁l^n-1 + ... + a_n-1l + a_n)exp(lx) = 0,
т.е. число l является корнем характеристического уравнения
lⁿ + a₁l^n-1 + ... + a_n-1l + a_n = 0.
Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом  линейного дифференциального уравнения:
P(l) = lⁿ + a₁l^n-1 + ... + a_n-1l + a_n.
Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.

Если характеристическое уравнение имеет n различных действительных корней
l₁№ l₂ № ... № l_n,
то фундаментальная система решений состоит из функций  
y₁(x) = exp(l₁x), y₂(x) = exp(l₂x), ..., y_n(x) = exp(l_nx),
и общее решение однородного уравнения имеет вид:
y(x)= c₁ exp(l₁x) +  c₂ exp(l₂x) + ... + c_n exp(l_nx).

ПРИМЕР 1. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых действительных корней.

Если какой-либо из действительных корней характеристического уравнения повторяется r раз (r-кратный корень), то в фундаментальной системе решений ему отвечают r функций; если
l_k=l_k+1 = ... = l_k+r-1,
то в фундаментальную систему решений уравнения входят r функций:
y_k(x) = exp(l_kx),
y_k+1(x) = xexp(l_kx),
y_k+2(x) = x²exp(l_kx), ...,
y_k+r-1(x) =x^r-1 exp(l_nx).

ПРИМЕР 2. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных действительных корней.

Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то каждой паре простых (имеющих кратность 1 ) комплексных корней
l_k,k+1=a_k ± ib_k
в фундаментальной системе решений отвечает пара функций
y_k(x) = exp(a_kx)cos(b_kx), y_k+1(x) = exp(a_kx)sin(b_kx).

ПРИМЕР 3. Фундаментальная система решений и общее решение для случая п простых комплексных корней.

ПРИМЕР 4. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней. Мнимые корни.

Если же комплексная пара корней имеет кратность r, то  такой паре
l_k=l_k+1 = ... = l_2k+2r-1=a_k ± ib_k,
в фундаментальной системе решений отвечают функции
    exp(a_kx)cos(b_kx),          exp(a_kx)sin(b_kx),
   xexp(a_kx)cos(b_kx),        xexp(a_kx)sin(b_kx),
  x²exp(a_kx)cos(b_kx),      x²exp(a_kx)sin(b_kx),
................
x^r-1exp(a_kx)cos(b_kx),    x^r-1exp(a_kx)sin(b_kx).

ПРИМЕР 5. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных комплексных корней.

Таким образом, для отыскания общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует:
записать характеристическое уравнение;
найти все корни характеристического уравнения l₁, l₂, ... , l_n;
записать фундаментальную систему решений y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x);
записать выражение для общего решения y(x)= c₁ y₁(x) +  c₂ y₂(x) + ... + c_n y_n(x).
Для решения задачи Коши нужно подставить выражение для общего решения в начальные условия и определить значения постоянных c₁,..., c_n, которые являются решениями системы линейных алгебраических уравнений 
c₁ y₁(x₀) +  c₂ y₂(x₀) + ... + c_n y_n(x₀) = y₀,
c₁ y'₁(x₀) +  c₂ y'₂(x₀) + ... + c_n y'_n(x₀)   =y_0,1,
......... ,
c₁ y₁^(n-1)(x₀) +  c₂ y₂^(n-1)(x₀) + ... + c_n y_n^(n-1)(x₀) = y_0,n-1

ПРИМЕР 6. Решение задачи Коши.