Линейное дифференциальное уравнение ~ Линейный  дифференциальный оператор ~  Однородные линейные уравнения ~ Неоднородные линейные уравнения ~ Cвойства решений линейных уравнений ~ Принцип суперпозиции

Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида
y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = f(x),
где y = y(x) — неизвестная функция,
a₁(x), a₂(x), ..., a_n-1(x), a_n(x),  f(x) — известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке (a, b).

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка:
L(y) = y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y .
Уравнения
y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = 0 и
y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = f(x),  f(x) № 0,
называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Будем записывать однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения в виде:
L(y) = 0 и L(y) = f(x).

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений:
а) Если  y₁(x) и y₂(x) — два решения однородного линейного уравнения L(y)=0, то их линейная комбинация y(x) = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x)
при любых постоянных c₁, c₂   является решением однородного уравнения.
б) Если y₁(x) и  y₂(x) — два решения неоднородного линейного уравнения
L(y) = f(x), то их разность y(x) = y₁(x) - y₂(x)
является решением однородного уравнения L(y) = 0.
в) Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.

Принцип суперпозиции:
Если y₁(x) и  y₂(x) — решения неоднородных линейных уравнений
L(y) =  f₁(x) и L(y) =  f₂(x), то их сумма y(x) = y₁(x) + y₂(x) является решением уравнения
L(y) =  f₁(x) +  f₂(x).  

ПРИМЕР 1. Проверка принципа суперпозиции для линейного дифференциального уравнения 2-го порядка.