Решение ~ Интегральная кривая ~ Задача Коши ~ Теорема существования и единственности решения ~ Численное решение задачи Коши ~ Задача Коши для систем дифференциальных уравнений ~ Численное решение задачи Коши  для систем дифференциальных уравнений

Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида
F(x, y, y', y'', ..., y⁽ⁿ⁾) = 0,
где F - известная функция (n+2) переменных, определенная в области D М Rⁿ+2, x - независимая переменная из интервала (a, b), y = y(x) - неизвестная функция, n - порядок уравнения.

ПРИМЕР 1. Уравнение движения материальной точки.

ПРИМЕР 2. Уравнение изменения объема производства в замкнутой экономической системе.

В дальнейшем будем рассматривать обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно старшей производной - уравнения, записанные в нормальной форме:
y⁽ⁿ⁾) = f(x, y, y', y'', ..., y^(n-1)).

Функция y(x) называется решением дифференциального уравнения n-го порядка, если она n раз непрерывно дифференцируема на промежутке (a, b) и удовлетворяет  уравнению для всех
xО(a, b).

ПРИМЕР 3. Решение уравнения гармонического осциллятора.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

ПРИМЕР 4. Интегральная кривая для уравнения затухающих колебаний.

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет, вообще говоря, бесконечное множество решений. Чтобы выделить единственное решение уравнения достаточно определить начальные условия:
y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = y_0,1 , y''(x₀) = y_0,2 , ..., y^(n-1)(x₀) = y_0,n-1.

При определенных ограничениях на правую часть уравнения эта задача, она называется задачей Коши, имеет единственное решение.

ПРИМЕР 5. Решения задачи Коши для уравнения изменения объема производства в замкнутой экономической системе при различных начальных условиях.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши.
Если правая часть уравнения
y⁽ⁿ⁾) = f(x, y, y', y'', ..., y^(n-1))
и ее частные производные по переменным y, y', y'', ..., y^(n-1) непрерывны в области GМ Rⁿ+1, то для любой точки (x₀, y₀, y_0,1, y_0,2, ..., y_0,n-1) из G на некотором интервале (x₀-h, x₀+h) существует единственное решение y(x) уравнения, удовлетворяющее начальным условиям
y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = y_0,1 , y''(x₀) = y_0,2 , ..., y^(n-1)(x₀) = y_0,n-1. 

Численное решение задачи Коши
y⁽ⁿ⁾) = f(x, y, y', y'', ..., y^(n-1)),
y(x₀) = y₀ , y'(x₀) = y_0,1 , y''(x₀) = y_0,2 , ..., y^(n-1)(x₀) = y_0,n-1
состоит в построении таблицы приближенных значений y_i решения y=y(x) в точках x₁, x₂, ..., x_i, ... .

Задача о численном решении дифференциального уравнения порядка выше первого чаще всего сводится к численному решению решению задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений.
Обозначив
y(x)=y₁(x), y'(x)=y₂(x), y''(x)=y₃(x), ..., y^(n-1)(x)=y_n (x),
получим задачу Коши для системы n дифференциальных уравнений 1-го порядка
y₁'=y₂ , y₂'=y₃ , ..., y_n' =f(x, y₁, y₂ , ..., y_n ),
y₁(x₀ )=y₀, y₂(x₀)=y_1,0 , ..., y_n-1(x₀)=y_n-1,0,
которая в векторной форме имеет вид
`Y '= `F(x,`Y), `Y(x₀) =`Y<sub>0</sub>,
`Y (x)=(y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x)), `Y '(x)=(y<sub>1</sub>'(x),   y<sub>2</sub>'(x), ..., y<sub>n</sub>'(x)),
`F(x,`Y)=  (y₂, y₃, ..., y_n, f(x, y₁, y₂ , ..., y_n )).

Численное решение задачи Коши для этой системы состоит в построении таблицы приближенных значений y_i,1 , y_i,2 , ..., y_i,N компонент y_i(x_j) вектора решения в точках x₁ , x₂ , ..., x_N. Чтобы получить расчетные формулы метода Рунге—Кутты для систем дифференциальных уравнений, достаточно в расчетных формулах для уравнений первого порядка заменить
y, f(x, y), k₁, k₂, k₃, k₄ на `Y, `F(x,`Y), `k₁, `k<sub>2</sub>, `k₃, `k₄ .

ПРИМЕР 6. Решение задачи Коши методом Рунге-Кутты для дифференциального уравнения второго порядка.