Пример 1 ~ Пример 2 ~ Пример 3

Пример 1. Вычислить интеграл , где:
а). l - прямая, соединяющая точки z₁= 0 и  z₂ = 1+i;
б). l - ломаная ОВА,  О(0,0),  В(1,0),   А(1,1).

Решение.
а). Путь интегрирования l - прямая, соединяющая точки z₁=0 и  z₂ = 1+i.
Применяем к вычислению интеграла 1-й способ (формула (1)). Подинтегральное выражение имеет вид
Re zdz = x(dx+idy) = xdx + ixdy. Поэтому:

Уравнение отрезка прямой, соединяющей точки z₁=0 и  z₂ = 1+i имеет вид
y = x, .
Получаем:

б). Путь интегрирования  l - ломаная ОВА, О(0,0), В(1,0), А(1,1).
Так как путь интегрирования состоит из двух отрезков, записываем интеграл в виде суммы двух интегралов:

и каждый из этих двух интегралов вычисляем, как выше.

Для отрезка ОВ имеем:  y = 0, ,
а для отрезка ВА: х = 1, .
Тогда:

Заметим, что подинтегральная функция в данном примере - функция не аналитическая, поэтому интегралы по двум различным кривым, соединящим две данные точки, могут иметь различные значения, что и продемонстрировано в этом примере.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Вычислить интеграл
l - верхняя полуокружность |z| = 1, обход l против часовой стрелки.

Подинтегральная функция здесь непрерывная, но не аналитичная функция. Применим второй способ (формула (2)), поскольку кривая l имеет простое параметрическое представление:
z = e^it,
Тогда
Подставляем в подинтегральное выражение имеем:

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 3. Вычислить интеграл от аналитической функции
Применяем формулу (3), первообразную находим, используя методы интегрирования действительного анализа:

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica