Интеграл от функций комплексного переменного ~  1-й способ вычисления интегралов ~ 2-й способ вычисления интегралов ~  3-й способ вычисления интегралов

Интегралом от функции комплексного переменного называется предел последовательности интегральных сумм; функция при этом определена на некоторой кривой l, кривая предполагается гладкой или кусочно-гладкой:

где   - точка, произвольно выбранная на дуге    разбиения кривой,
 -  приращение аргумента функции на этом участке разбиения,
 -  шаг разбиения,
- длина хорды, соединяющей концы дуги ,
кривая l разбивается произвольным образом на n частей , k=1,2...n.
На кривой выбрано направление, т.е. указаны начальная и конечная точки.

В случае замкнутой кривой l = C

интегрирование происходит в положительном направлении, т.е. в направлении обхода, оставляющем слева конечную область, ограниченную контуром С.
Существует несколько способов вычисления интегралов в комплексной области.

1 способ. Интеграл вычисляется сведением к криволинейным интегралам от функций действительных переменных - примененяются формулы:

где f(z) = u + iv, u = Re f(z), v = Im f(z).

ПРИМЕР 1. Вычисление интеграла.

2 способ. Интеграл вычисляется сведением к определенному интегралу (путь интегрирования l задается в параметрической форме z = z(t)) - применяется формула:

ПРИМЕР 2. Вычисление интеграла.

3 способ. Вычисление интегралов от аналитической функции в односвязных областях - примененяеется формула:

где F(z) - первообразная для f(z).

ПРИМЕР 3. Вычисление интеграла.