Автономная система ~ Фазовая кривая ~  Фазовая траектория ~ Фазовый портрет ~ Фазовая плоскость ~  Фазовое пространство ~ Свойства фазовых траекторий ~ Точка покоя Векторное поле ~ Векторное поле автономной системы ~ Особая точка векторного поля

Система обыкновенных дифференциальных уравнений называется автономной, если независимая переменная не входит явно в систему.
В теории автономных систем принято обозначать независимую переменную буквой t, а искомое решение — .
Ограничимся случаем n = 2 и в дальнейшем рассматриваем автономные системы второго порядка:

Будем полагать, что правые части системы f₁(x₁, x₂ ) , f₂(x₁, x₂) непрерывно дифференцируемы в области , т.е. справедлива теорема существования и единственности. Название автономная система оправдано тем, что решение само управляет своим изменением, поскольку производные dx₁/dt и dx₂/dt зависят только от x₁ и x₂. Автономные системы называют также динамическими системами.

Пусть x₁=j₁(t), x₂= j₂(t) — решение автономной системы второго порядка. Тогда уравнения

задают в параметрической форме кривую на плоскости. Эта кривая называется фазовой кривой или фазовой траекторией системы. Плоскость, на которой расположены фазовые траектории называется фазовой плоскостью автономной системы. Для n >2 фазовые траектории располагаются в фазовом пространстве.

Если на рисунке изображено несколько фазовых кривых системы, характеризующих качественное поведение решений системы (кривые с одинаковыми асимптотами, предельными точками и пр.), то такое изображение называется фазовым портретом системы.

Интегральные кривые рассматриваемой системы изображаются в трехмерном пространстве переменных (t, x₁, x₂) и, если x₁=f₁(t), x₂= f₂(t) — решение системы, то интегральная кривая задается в параметрической форме уравнениями

а фазовая траектория — не что иное, как проекция интегральной кривой на фазовую плоскость (плоскость (x₁, x₂).

ПРИМЕР 1. Фазовые кривые автономной системы.

Для фазовых кривых (фазовых траекторий) автономной системы с непрерывно дифференцируемой правой частью
, ,
справедливы следующие утверждения:

• Если существует такая точка , что , то ,  является решением автономной системы, т.е. соответствующая фазовая траектория — точка.
• Если точка (x₁(t), x₂(t)) принадлежит некоторой фазовой кривой, то при любой постоянной С точка (x₁(t+С), x₂(t+С)) принадлежит той же фазовой кривой.
• Две фазовые кривые либо не имеют общих точек, либо совпадают.
• Фазовая траектория, отличная от точки, есть гладкая кривая (в каждой ее точке есть ненулевой касательный вектор).
• Всякая фазовая кривая принадлежит к одному из трех типов— гладкая кривая без самопересечений, замкнутая гладкая кривая (цикл), точка.
• Если фазовая кривая, отвечающая решению , есть гладкая замкнутая кривая, то это решение —  периодическая функция.

ПРИМЕР 2. Типы фазовых кривых.

Точка , в которой правая часть системы обращается в нуль,, называется положением равновесия системы. Положение равновесия называют также точкой покоя автономной системы.

ПРИМЕР 3. Точки покоя автономной системы.

Если в каждой точке области задан n-мерный вектор
,, то говорят, что в области G задано векторное поле. Запишем автономную систему второго порядка

в векторной форме:

где
,
Автономная система

полностью определяется заданием векторного поля
.
Действительно, в каждой точке

гладкой фазовой кривой

существует касательный вектор
(x'(t₀ ), y'(t₀ ))
равный (в силу системы) вектору
,
иными словами, векторное поле

автономной системы задает в каждой точке направление касательной к фазовой кривой системы, проходящей через эту точку.
Точки векторного поля, в которых вектор — нулевой, называют особыми точками векторного поля. Таким образом, точки покоя автономной системы — это особые точки векторного поля.

ПРИМЕР 4. Векторное поле автономной системы.