Кривые на плоскости в декартовых координатах ~ Кривые, заданные параметрически ~ Кривые в полярных координатах

Кривые на плоскости в декартовых координатах.

Кривая на плоскости в прямоугольных (декартовых) координатах — это множество точек, координаты которых связаны соотношениями , , , или ; первые два соотношения задают кривую явно, последнее — неявно. Кривая, заданная уравнением , , называется гладкой, если функция дифференцируема на промежутке . В каждой точке гладкой кривой можно провести касательную , уравнение которой . Уравнение нормали в той же точке имеет вид или . Кривая, заданная неявно уравнением , называется гладкой, если на ней нет особых точек (точка линии называется особой, если в ней одновременно обращаются в нуль обе частные производные функции : ). Уравнения касательной и нормали к такой кривой, проходящих через точку , , имеют соответственно вид  и

ПРИМЕР 1. Построение кривой в декартовых координатах.

Кривые, заданные параметрически.

Уравнения , , устанавливающие зависимость декартовых координат точки плоскости от значения параметра , определяют на плоскости кривую, заданную в параметрической форме (говорят еще — заданную параметрически). Поскольку производная функции , заданной параметрически уравнениями , в точке, которая не является особой точкой кривой, вычисляется по формуле , то уравнения касательной и нормали к кривой, проходящих через точку , имеют соответственно вид: .  

ПРИМЕР 2. Построение кривой, заданной параметрически.

Кривые в полярных координатах.

Декартовы координаты точки на плоскости связаны с полярными координатами соотношениями . Многие кривые на плоскости удобно описывать как функции радиуса-вектора и полярного угла — в полярных координатах. Так, уравнение единичной окружности в полярных координатах имеет вид . Уравнение кривой в полярных координатах обычно имеет вид . Угловой коэффициент касательной к графику функции, заданной уравнением , в точке  равен  , а декартовы координаты точки равны соответственно и  .

ПРИМЕР 3.  Построение кривой в полярных координатах.