Дифференцируемость функции в точке ~ Дифференциал функции ~ Связь дифференциала и производной

Дифференцируемость функции в точке.

Пусть функция  определена в некоторой окрестности точки . Рассмотрим приращение функции в этой точке: . Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно записать в виде , где - приращение независимой переменной, А – постоянная, не зависящая от , - бесконечно малая функция при .

ПРИМЕР 1.  Вычисление приращения функции в точке

Дифференциал функции.

Дифференциалом функции в точке называется линейная по часть приращения . Дифференциал обозначается   , то есть . Рассматривая функцию , нетрудно убедиться, что  , если  - независимая переменная.

ПРИМЕР 2.  Вычисление дифференциала функции по определению

Связь дифференциала и производной.

Воспользуемся определением производной для дифференцируемой функции в точке : . Таким образом, дифференциал функции выражается формулой  , то есть для вычисления дифференциала необходимо лишь вычислить производную и умножить ее на  . Поэтому часто слова “вычисление производной” и “дифференцирование” считают синонимами. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала конечная производная.

ПРИМЕР 3.  Вычисление дифференциала функции