Предел суммы, произведения и частного функций ~ Неопределенности и их раскрытие ~ Использование эквивалентных бесконечно малых ~ Правило Лопиталя ~ Формула Тейлора

Предел суммы, произведения и частного функций.

Пусть заданы две функции и . Если существуют и  , то существуют и пределы суммы и произведения этих функций, а при и предел частного, причем       
,
    ,     
.
Для правильного применения этих теорем очень важно существование пределов каждой функции. Не трудно доказать, что предел постоянной функции равен этой постоянной, то есть  . Из приведенных формул следует полезное утверждение: 

 , то есть постоянный множитель можно выносить за знак предела. Если сделать замену переменной , то вычисление предела при  всегда можно свести к вычислению предела при . Из определения непрерывной функции следует, что ее предел совпадает со значением функции в этой точке. Доказывают, что все элементарные функции непрерывны в области определения, поэтому, если функция определена, то вычисление предела сводится к применению указанных теорем и подстановке в выражение для функции.

ПРИМЕР 1.  Простейшие методы вычисления пределов

Неопределенности и их раскрытие.

Существуют случаи, когда не применимы теоремы о пределах суммы, произведения, частного, но предел существует и может быть вычислен. Если и  , то может существовать . В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа . Также может существовать  , в этом случае имеем неопределенность типа  . Если  и  , то может существовать  .   В этом случае говорят, что имеем неопределенность типа . Если    и   , то может существовать - неопределенность типа  . Рассматривают также неопределенности типа , и т. д. Основным признаком неопределенности является невозможность корректного вычисления функции простой подстановкой в выражение для функции. Полезно запомнить замечательные пределы:

     (е = 2.71828… - основание натуральных логарифмов) - неопределенность типа .

       - неопределенность типа .

ПРИМЕР 2.  Простейшие методы раскрытия неопределенностей

Использование эквивалентных бесконечно малых.

Если мы имеем неопределенность типа    , то это означает, что мы вычисляем предел отношения двух бесконечно малых функций. Напомним, что функция называется бесконечно малой, если ее предел в точке равен нулю. Пусть, , , - бесконечно малые функции при , причем эквивалентна , т.е. ~ , ~ (напомним, что две бесконечно малых называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1). Тогда, т.е. при вычислении пределов отношений бесконечно малых любую из них можно заменять на эквивалентную.

ПРИМЕР 3.  Раскрытие неопределенностей с помощью эквивалентных бесконечно малых

Правило Лопиталя.

Неопределенности типа или удобно раскрывать с помощью правила Лопиталя. Пусть и две бесконечно малые или бесконечно большие функции при и существует предел отношения их производных при . Тогда . Если в результате применения правила Лопиталя снова получится неопределенность, то его можно применить еще раз.

ПРИМЕР 4.  Раскрытие неопределенностей с помощью правила Лопиталя

Формула Тейлора.

Пусть функция имеет в точке производные всех порядков до -го включительно. Тогда для   справедлива формула Тейлора:

где называется остаточным членом формулы Тейлора.

ПРИМЕР 5.  Раскрытие неопределенностей с помощью формулы Тейлора