Непрерывные функции ~ Свойства функций, непрерывных на отрезке 

Непрерывные функции.

Рассмотрим функцию , определенную на некотором промежутке . Функция  непрерывна в точке , если предел функции в точке равен значению функции в этой точке,.

ПРИМЕР 1.  Доказательство непрерывности функции в точке.

Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной на промежутке. Для функции, непрерывной на отрезке , справедливы следующие утверждения.

Функция, непрерывная на отрезке , достигает на нем своих наибольшего и наименьшего значений, т.е. на отрезке существуют точки такие, что

.

Если функция непрерывна на отрезке и принимает на концах значения разных знаков, то на интервале существует точка  , в которой функция обращается в нуль, т.е.  . Это утверждение применяют для отделения корней уравнений с непрерывной левой частью — если найден отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, то можно утверждать, что на этом отрезке есть хотя бы один корень уравнения.

Если функция  непрерывна на отрезке   , дифференцируема хотя бы на интервале , то на интервале существует точка , такая, что  . Это свойство называют формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

ПРИМЕР 2.  Нахождение наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке.

ПРИМЕР 3.  Отделение корней уравнения f(x)=0 с непрерывной левой частью.

ПРИМЕР 4.  Геометрический смысл формулы Лагранжа.