Основные определения ~ Бесконечно большие функции

Основные определения.

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки  , , , за исключением, быть может, самой точки . Число называется пределом функции при , стремящемся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число , что для всех   , удовлетворяющих неравенству  , справедливо неравенство . Говорят “предел функции в точке ” и обозначают  . Неравенство для всех , эквивалентное неравенствам , , означают, что для любого существует такое , что для график функции  расположен на плоскости в прямоугольнике . При вычислениях на компьютере мы имеем дело с дискретными значениями переменных. Поэтому удобнее пользоваться другим, эквивалентным приведенному, определением предела. А именно: , если для любой, сходящейся к последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу . Отсюда следует, в частности, что для любого существует такое , что для любой последовательности , сходящейся к , точки с координатами находятся на плоскости внутри прямоугольника   . 

ПРИМЕР 1. Доказательство существования предела функции в точке

Бесконечно большие функции.

Если для любой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции бесконечно большая, то функция называется бесконечно большой в точке . Если бесконечно большая в точке , то для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такое число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство ; обозначают  .

ПРИМЕР 2. Доказательство того, что функция бесконечно большая

ПРИМЕР 3. Функция, не имеющая предела в точке