Остаточный член формулы Тейлора ~ Разложение основных элементарных функций ~ Разложение функций с использованием стандартных разложений

Остаточный член формулы Тейлора - Пусть функция имеет в точке производные всех порядков до -го включительно. Тогда для справедлива формула Тейлора:

,

где ,  называется остаточным членом формулы Тейлора в форме Пеано; — бесконечно малая более высокого порядка малости, чем . Если отбросить остаточный член, то получится приближенная формула Тейлора

,

правая часть которой называется многочленом Тейлора функции ; его обозначают . Приближенная формула позволяет заменять в различных математических расчетах (аналитических и численных) произвольную функцию ее многочленом Тейлора.
Из формулы Тейлора видно, что чем точка ближе к точке , тем выше точность такой аппроксимации и эта точность растет с ростом степени многочлена. Это означает, в свою очередь, что чем больше производных имеет функция в некоторой окрестности точки , тем выше точность, с которой многочлен Тейлора аппроксимирует функцию в этой окрестности.

ПРИМЕР 1. Оценка остаточного члена

Разложение основных элементарных функций - Положив и вычислив соответствующие производные в нуле, получим формулы Тейлора для основных элементарных функций:

• ; 
• ;
• ;
• ;
• ; 
• ;
• .

ПРИМЕР 2. Разложение функции в окрестности нуля

Разложение функций с использованием стандартных разложений - Для разложения по формуле Тейлора функции в окрестности произвольной точки необходимо сделать замену переменной , то есть , и воспользоваться одним из приведенных выше разложений основных функций в окрестности точки .

ПРИМЕР 3. Разложение функции в окрестности произвольной точки