Купить Matlab  |  Mathematica  |  Mathcad  |  Maple  |  Statistica  |  Другие пакеты Поиск по сайту
Internet-класс  |  Примеры  |  Методики  |  Форум  |  Download
https://hub.exponenta.ru/


Курс МА.
Готовые занятия

 

Список курсов ВМ

 

 
Занятие 19
Теоретический материал Теоретическая справка Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы

Интеграл как функция верхнего предела ~Несобственные интегралы по неограниченному промежутку ~ Несобственные интегралы от неограниченных функций ~ Исследование несобственных интегралов на сходимость

Интеграл как функция верхнего предела.

Для функции Image1010.gif (965 bytes), интегрируемой для всех Image1011.gif (924 bytes) , значение интеграла Image1012.gif (1131 bytes) зависит от значения верхнего предела Image1013.gif (860 bytes); можно рассмотреть функцию переменной Image1013.gif (860 bytes): каждому значению Image1013.gif (860 bytes) ставится в соответствие число, равное значению интеграла Image1012.gif (1131 bytes) . Таким образом, можно рассматривать определенный интеграл как функцию верхнего предела: Image1015.gif (1286 bytes); функция Image1016.gif (976 bytes)определена в области интегрируемости подынтегральной функции Image1010.gif (965 bytes). Если Image1017.gif (968 bytes)первообразная для Image1010.gif (965 bytes), то значение Image1019.gif (976 bytes)можно вычислить по формуле Ньютона—Лейбница:Image1020.gif (1536 bytes) . Функцию Image1021.gif (1286 bytes) можно исследовать, не вычисляя первообразной. Для интегрируемой приImage1011.gif (924 bytes) функции Image1010.gif (965 bytes)справедливы следующие утверждения: Image1022.gif (976 bytes) непрерывна на промежутке Image1023.gif (973 bytes), причем Image1024.gif (1027 bytes); если Image1025.gif (1023 bytes)при Image1011.gif (924 bytes), то    Image1022.gif (976 bytes) монотонно возрастает на промежутке Image1023.gif (973 bytes); если Image1010.gif (965 bytes)непрерывна при Image1011.gif (924 bytes), то Image1022.gif (976 bytes)дифференцируема на промежутке Image1023.gif (973 bytes), причем Image1026.gif (1613 bytes).

ПРИМЕР 1.  Исследование функции, заданной интегралом.

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку.

Пусть функция Image1010.gif (965 bytes) интегрируема для всех Image1011.gif (924 bytes) и   Image1027.gif (1286 bytes). Если существует предел Image1028.gif (1509 bytes), то этот предел называют несобственным интегралом по неограниченному промежутку и обозначают его Image1029.gif (1119 bytes) . Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле Image1030.gif (1477 bytes). Аналогично определен интеграл Image1031.gif (1473 bytes)для интегрируемой при Image1032.gif (929 bytes) функции Image1010.gif (965 bytes) и интегралImage1034.gif (1516 bytes) для функции , интегрируемой на Image1035.gif (1000 bytes). Если рассмотренные пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится.

ПРИМЕР 2.  Вычисление несобственного интеграла с бесконечным пределом.

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция Image1010.gif (965 bytes) интегрируема на любом отрезке, целиком содержащемся в промежутке Image1036.gif (976 bytes), и бесконечно большая в точке Image1037.gif (923 bytes). Если существует предел Image1038.gif (1255 bytes), то этот предел называют несобственным интегралом от неограниченной функции Image1010.gif (965 bytes)по Image1039.gif (976 bytes)и обозначают его Image1040.gif (1126 bytes). Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле Image1041.gif (1498 bytes). Аналогично определен интеграл Image1042.gif (1523 bytes)от интегрируемой на любом конечном отрезке, содержащемся в Image1043.gif (972 bytes), бесконечно большой в точке Image1045.gif (915 bytes) функции Image1010.gif (965 bytes). Если пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится.

ПРИМЕР 3.  Вычисление несобственного интеграла от неограниченной функции.

Исследование несобственных интегралов на сходимость.

Вычисление несобственных интегралов сводится к вычислению первообразной, использованию формулы Ньютона-Лейбница и вычислению предела. Каждый из этапов сам по себе достаточно сложен, и разумно приступать к ним, если есть уверенность, что интеграл сходится, то есть предел конечен. Поэтому, в конечном счете, самым важным в теории несобственных интегралов является исследование их на сходимость: если интеграл расходится, то его и вычислять не надо. Одним из главных инструментов исследования несобственных интегралов на сходимость являются теоремы сравнения.

Рассмотрим две неотрицательные функции Image1010.gif (965 bytes) и Image1046.gif (965 bytes), определенные при Image1047.gif (929 bytes). Пусть Image1048.gif (1094 bytes) для всех Image768.gif (859 bytes) , начиная с некоторого числа Image1049.gif (962 bytes). Тогда, если сходится интеграл от большей функции Image1050.gif (1147 bytes), то сходится и интеграл от меньшей, то естьImage1051.gif (1142 bytes). Если расходится интеграл от меньшей функции Image1051.gif (1142 bytes) ,то расходится и интеграл от большей - Image1050.gif (1147 bytes).

Если  Image1052.gif (1330 bytes) , то несобственные интегралы от этих функций или оба сходятся или оба расходятся.

Аналогичные утверждения, которые называют признаками сравнения, имеют место и для интегралов по конечному промежутку от неограниченных функций.

ПРИМЕР 4.  Исследование несобственных интегралов на сходимость.

В начало страницы

 

Примеры Задачи для самостоятельного решения Контрольные вопросы
| На первую страницу | Поиск | Купить Matlab

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter


Copyright © 1993-2024. Компания Softline. Все права защищены.

Дата последнего обновления информации на сайте: 04.03.17
Сайт начал работу 01.09.00