Интеграл как функция верхнего предела ~Несобственные интегралы по неограниченному промежутку ~ Несобственные интегралы от неограниченных функций ~ Исследование несобственных интегралов на сходимость

Интеграл как функция верхнего предела.

Для функции , интегрируемой для всех , значение интеграла зависит от значения верхнего предела ; можно рассмотреть функцию переменной : каждому значению ставится в соответствие число, равное значению интеграла . Таким образом, можно рассматривать определенный интеграл как функцию верхнего предела: ; функция определена в области интегрируемости подынтегральной функции . Если — первообразная для , то значение можно вычислить по формуле Ньютона—Лейбница: . Функцию можно исследовать, не вычисляя первообразной. Для интегрируемой при функции справедливы следующие утверждения: непрерывна на промежутке , причем ; если при , то    монотонно возрастает на промежутке ; если непрерывна при , то дифференцируема на промежутке , причем .

ПРИМЕР 1.  Исследование функции, заданной интегралом.

Несобственные интегралы по неограниченному промежутку.

Пусть функция интегрируема для всех и   . Если существует предел , то этот предел называют несобственным интегралом по неограниченному промежутку и обозначают его . Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле . Аналогично определен интеграл для интегрируемой при функции и интеграл для функции , интегрируемой на . Если рассмотренные пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится.

ПРИМЕР 2.  Вычисление несобственного интеграла с бесконечным пределом.

Несобственные интегралы от неограниченных функций.

Пусть функция интегрируема на любом отрезке, целиком содержащемся в промежутке , и бесконечно большая в точке . Если существует предел , то этот предел называют несобственным интегралом от неограниченной функции по и обозначают его . Если предел конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится и его значение вычисляют по формуле . Аналогично определен интеграл от интегрируемой на любом конечном отрезке, содержащемся в , бесконечно большой в точке функции . Если пределы бесконечны, то говорят, что соответствующий несобственный интеграл расходится.

ПРИМЕР 3.  Вычисление несобственного интеграла от неограниченной функции.

Исследование несобственных интегралов на сходимость.

Вычисление несобственных интегралов сводится к вычислению первообразной, использованию формулы Ньютона-Лейбница и вычислению предела. Каждый из этапов сам по себе достаточно сложен, и разумно приступать к ним, если есть уверенность, что интеграл сходится, то есть предел конечен. Поэтому, в конечном счете, самым важным в теории несобственных интегралов является исследование их на сходимость: если интеграл расходится, то его и вычислять не надо. Одним из главных инструментов исследования несобственных интегралов на сходимость являются теоремы сравнения.

Рассмотрим две неотрицательные функции и , определенные при . Пусть для всех , начиная с некоторого числа . Тогда, если сходится интеграл от большей функции , то сходится и интеграл от меньшей, то есть. Если расходится интеграл от меньшей функции ,то расходится и интеграл от большей - .

Если  , то несобственные интегралы от этих функций или оба сходятся или оба расходятся.

Аналогичные утверждения, которые называют признаками сравнения, имеют место и для интегралов по конечному промежутку от неограниченных функций.

ПРИМЕР 4.  Исследование несобственных интегралов на сходимость.