Первообразная и неопределенный интеграл ~ Интегрирование заменой переменной ~ Интегрирование по частям

Первообразная и неопределенный интеграл - Рассмотрим функцию , определенную на промежутке (здесь возможно ). Дифференцируемая на промежутке    функция , производная которой в каждой точке равна , называется первообразной функции  : . Поскольку  , то можно говорить о семействе первообразных — множестве функций вида  , . Семейство первообразных  функции называется неопределенным интегралом функции и обозначается символом : для всех . Здесь   — знак интеграла, — подынтегральное выражение,  — подынтегральная функция,  — переменная интегрирования, — значение неопределенного интеграла, семейство первообразных функции , . То есть производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции. Наоборот,   , следовательно, дифференцирование и вычисление неопределенного интеграла, – взаимно обратные операции. Не представляет труда с помощью таблицы производных составить таблицу неопределенных интегралов. Важным свойством неопределенного интеграла является линейность: , здесь   - постоянные. Вычисление неопределенного интеграла обычно сводится к преобразованию подынтегрального выражения так, чтобы можно было воспользоваться таблицей интегралов.

ПРИМЕР 1.  Простейшие методы интегрирования

Интегрирование заменой переменной - Если — непрерывно дифференцируемая функция, то, полагая  , получим формулу интегрирования заменой переменной   . Если замена переменной выбрана правильно, то интеграл в правой части должен легко вычисляться. Для некоторых классов функций существуют стандартные замены, сводящие интеграл к табличному.

ПРИМЕР 2.  Замена переменной в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям - Пусть  - непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула интегрирования по частям . Название “по частям” связано с тем, что для записи интеграла в правой части нужно проинтегрировать “часть”    подынтегрального выражения в левой части. Метод интегрирования по частям используется для интегралов вида   ,  ,  ,  и некоторых других.

ПРИМЕР 3.  Интегрирование по частям в неопределенном интеграле