Многомерные случайные величины. Функции распределения многомерных случайных величин ~ Независимость случайных величин ~ Условные распределения случайных величин ~ Условные распределения дискретных случайных величин ~ Условные распределения непрерывных случайных величин

В одном и том же случайном эксперименте можно рассматривать не одну, а несколько - n - числовых функций, определенных на одном и том же пространстве элементарных событий. Совокупность таких функций называется многомерной случайной величиной или случайным вектором и обозначается .

Точнее. На вероятностном пространстве заданы случайные величины ; каждому w W эти величины ставят в соответствие n-мерный вектор , который называется n-мерным случайным вектором (n-мерной случайной величиной).

Функцией распределения случайного вектора или совместным распределением случайных величин называется функция, определенная равенством

,

где .

По известной многомерной функции можно найти распределение каждой из компонент .

Например, если - двумерная случайная величина, имеющая совместное распределение , то распределения компонент и вычисляются соответственно по формулам:

, .

В дальнейшем будем рассматривать двумерные случайные векторы.

Случайный вектор называется непрерывным случайным вектором, если существует такая неотрицательная функция , что для любого прямоугольника W  на плоскости вероятность события равна

.

Функция в этом случае называется совместной плотностью распределения.

Легко показать, что .

Если - совместная плотность распределения двумерного случайного вектора , то плотности распределения его компонент определяются равенствами:

и .

Если - дискретный случайный вектор, то совместным распределением случайных величин и чаще всего называют таблицу вида

где и .

По этой таблице можно найти распределения и компонент x и h . Они вычисляются по формулам:

.

Решить обратную задачу, т.е. восстановить совместное распределение (x , h ) по распределениям величин x и h , вообще говоря, невозможно. Однако эту задачу можно решить, когда случайные величины x и h независимы.

Случайные величины x и h называются независимыми, если для любых x₁, x₂ R² справедливо равенство:

F_{x ,h} (x₁, x₂)= F_x (x₁)F_h ( x₂).

Для непрерывных случайных величин это определение эквивалентно следующему:

случайные величины называются независимыми, если

p_{x ,h} (x₁, x₂)= p_x  (x₁) p_h (x₂)

во всех точках непрерывности входящих в это равенство функций.

Для дискретных случайных величин x и h с матрицей совместного распределения {p_ij} условие независимости x и h имеет вид:

p_ij = P(x = x_i, h = y_j) = P(x = x_i) P(h = y_j),

для всех i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m.

Если две случайные величины x и h зависимы, то информация о том, какое значение на самом деле приняла одна из них, меняет наше представление о распределении другой. В связи с этим можно ввести понятие условного распределения.

Пусть дана двумерная случайная величина (x ,h ) с распределением

Тогда распределения случайных величин x и h имеют соответственно вид:

h	y1	y2	...	yn
	p· 1	p· 2	...	p· n

точка · в индексе означает суммирование по строкам или по столбцам:

, .

Условным распределением случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение , называется распределение:

x	x1	x2	...	xn
p			...

Нетрудно убедиться, что сумма вероятностей величины в этом распределении равна единице: для всех j = 1, 2, …, m.

Совершенно аналогично условным распределением случайной величины при условии, что случайная величина приняла значение , называется распределение:

h	y1	y2	...	yn
p			...

И для всех i = 1, 2, …, n.

Если условные распределения случайных величин x и h отличаются от их безусловных распределений, то случайные величины x и h зависимы.

Если - плотность вероятностей совместного распределения двумерной случайной величины , то плотности вероятностей каждой ее компоненты вычисляются по формулам:

, .

Условной плотностью распределения случайной величины x при условии, что случайная величина h принимает значение h = y₀, называется функция переменной x, определяемая формулой

.

Аналогично, условной плотностью распределения случайной величины при условии, что случайная величина x принимает значение x = x₀, называется функция переменной y, определяемая формулой

.