Пример 1 ~ Пример 2 ~ Пример 3

Пример 1. Решение задачи методом Эйлера.

Применяя метод Эйлера, найти решение задачи Коши:  в трех последовательных точках , , . Найти точное решение задачи и найти величину абсолютной погрешности в указанных точках.

Возьмем шаг Используя расчетную формулу Эйлера, найдем приближенное решение задачи Коши:

, , .

Таким образом, получили численное решение задачи Коши с шагом :

	0	0.2	0.4	0.6
	1.5	1.8	2.12	2.464

В этой задаче легко находится точное решение, например, методом вариации постоянной:

. Вычислим значения точного решения в указанных точках.   

	0	0.2	0.4	0.6
	1.5	1.811	2.146	2.511

Абсолютную погрешность вычислим так: . Тогда , , . Таким образом, максимальная величина погрешности равна .

Теоретическая справка

Пример 2. Оценка погрешности по правилу Рунге.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica
Решение примера в среде пакета Matlab

Пример 3. Решение задачи усовершенствованным методом Эйлера.

Выполнить 1 шаг длины 0.4 с использованием усовершенствованного метода Эйлера для решения задачи Коши:
.

Зададим шаг . Тогда решение в точке 1.4 находится так:

=

Таким образом .

Теоретическая справка