Вертикальные и наклонные асимптоты ~ Исследование функций с помощью производной ~ Исследование функций с помощью второй производной

Вертикальные и наклонные асимптоты.

Рассмотрим функцию , определенную на промежутке (возможно,  ) . Характер поведения функции в области определения можно исследовать, опираясь на следующие утверждения.
Если , то график функции пересекает ось абсцисс в точке .
Если , то график функции пересекает ось ординат в точке  .
Если в точке функция имеет бесконечный разрыв, то график функции имеет вертикальную асимптоту (Если расстояние от точки кривой до некоторой определенной прямой по мере удаления точки в бесконечность стремится к нулю, то эта прямая называется асимптотой кривой. В случае бесконечного разрыва расстояние от кривой до вертикальной асимптоты стремится к нулю при справа, слева или с обеих сторон).

Если , или , существуют и конечны пределы и , то прямая — асимптота графика функции.

Если , то график функции имеет на левой границе области сходимости вертикальную асимптоту ; аналогично, если , то график функции имеет на правой границе области сходимости вертикальную асимптоту .

Если и существует такое число , что для любого , то исследуемая функция периодична с периодом ; в этом случае достаточно построить график функции на промежутке и доопределить его по периодичности на всю числовую ось.

Если , то исследуемая функция четная; этом случае график симметричен относительно оси ординат; достаточно построить график функции на промежутке и отобразить его симметрично относительно оси ординат на .

Если  , то исследуемая функция нечетная; этом случае график симметричен относительно начала координат; достаточно построить график функции на промежутке и отобразить его симметрично относительно начала координат на .

ПРИМЕР 1. Отыскание асимптот графика функции.

Исследование функций с помощью производной.

Если функция дифференцируема на промежутке , за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то можно дополнить изучение поведения функции исследованием на экстремум (точки максимума и точки минимума функции имеют общее название — точки экстремума), используя следующие утверждения.

Для того, чтобы дифференцируемая на функция не убывала (не возрастала) на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы () на .

Пусть в точке производная или не существует. Если существует окрестность точки , такая, что для из этой окрестности при и при , то функция имеет в точке максимум. Если же при и при , то функция имеет в точке минимум (в этом случае говорят, что “производная меняет знак при переходе через точку ”).

Если непрерывная в точке функция дифференцируема на , при этом на и на , то функция имеет в точке максимум; если же при и при , то функция имеет в точке минимум.  

ПРИМЕР 2. Нахождение интервалов монотонности и экстремумов.

Исследование функций с помощью второй производной.

Если функция дважды дифференцируема на промежутке , за исключением, быть может, конечного числа точек этого промежутка, то исследование поведения функции можно дополнить исследованием выпуклости и вогнутости.

График функции называется выпуклым (выпуклым вниз) на промежутке , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке , . Если же график функции лежит ниже касательной, — то он называется вогнутым (выпуклым вверх).

Если дважды дифференцируемая на промежутке функция имеет на нем положительную вторую производную, то функция выпуклая на . Если же вторая производная отрицательна на промежутке , то функция на нем вогнута.

Если вторая производная равна нулю в точке , а слева и справа от нее имеет значения разных знаков, точка — точка перегиба.

ПРИМЕР 3. Нахождение интервалов выпуклости, вогнутости и точек перегиба.