Непрерывность и разрывы функции ~ Односторонние пределы функции в точке ~ Классификация разрывов

Непрерывность и разрывы функции.

Рассмотрим функцию  , определенную на некотором промежутке . Функция непрерывна в точке , если предел функции в точке равен значению функции в этой точке, .

ПРИМЕР 1.  Доказательство непрерывности функции в точке

Односторонние пределы функции в точке.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной на промежутке. Если функция определена на промежутке , , то при исследовании поведения функции в окрестности точки имеет смысл говорить о пределе функции  в точке справа, а при исследовании в окрестности точки - о пределе функции в точке слева. Число называется пределом справа функции при , стремящемся к , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство . Говорят “предел справа функции в точке ” и обозначают . Аналогично говорят “предел слева функции в точке ” и обозначают , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , справедливо неравенство . Для существования предела функции в точке, необходимо и достаточно, чтобы существовали и совпадали односторонние пределы функции в этой точке. По той же схеме вводится понятие непрерывности слева и непрерывности справа. Функция, определенная на отрезке , , непрерывна справа в точке , если и непрерывна слева в точке , если. Для того чтобы функция была непрерывна в точке необходимо и достаточно, чтобы односторонние пределы функции в точке совпадали со значением функции в этой точке:. Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке .

ПРИМЕР 2.  Вычисление односторонних пределов

Классификация разрывов.

Если хотя бы одно из равенств нарушается, говорят о разрыве в точке . Если  и односторонние пределы конечны, то разрыв в точке называется устранимым. Если и оба односторонние пределы конечны, то говорят о скачке функции в точке . Устранимый разрыв и скачок называются разрывами первого рода. Если один из односторонних пределов бесконечен или не существует, то разрыв называется разрывом второго рода. Так же, как для предела и непрерывности, говорят о разрыве слева и разрыве справа.

ПРИМЕР 3.  Определение типа точки разрыва