• Расчет в аналитическом виде
• Приближенное вычисление

Расчет в аналитическом виде

Переходную характеристику линейной цепи легко снять с помощью генератора прямоугольных импульсов и осциллографа. Однако снятие амлитудно-частотной и фазо-частотных характеристик линейной цепи намного сложнее, ибо приходится измерять коэффициенты передачи и фазовые сдвиги многократно для ряда частот. Поэтому представляет интерес получение амплитудно-частотной A(w) и фазо-частотной j(w) характеристик по известной переходной характеристике a(t).

Вначале рассмотрим аналитический метод решения данной задачи. Зададим переходную характеристику линейной цепи a(t) и вычислим ее производную:

Построим график переходной характеристики:

Чтобы избежать больших погрешностей в вычислениях важно, что бы в интервале времен от 0 до t0 переходная характеристика достигала предельного значения (в нашем случае 1). Найдем косинусные и синусные коэффициенты:

Теперь можно вычислить амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики данной системы:

Как видно из приведенных расчетов, вначале выражения для характеристик получаются в сложном виде, но применение функций FullSimplify (полное упрощение) и Shop (удаление чисел вида 0.) позволяет существенно упростить их без потери точности.

Теперь можно построить графики амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик:

Приближенное вычисление

В ряде случаев переходная характеристика задается рядом дискретных отсчетов - например экспериментальных. Сформируем такую таблицу, пока на основе аналитической зависимости:

Для численного вычисления амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик теперь можно использовать следующие формулы:

Ниже даны примеры вычислений и графики этих зависимостей

Поскольку функция Arg определена в интервале от -p до p, то при выходе из этого интервала фазовый угол на графике дает скачок. На самом деле это означает, что часть графика фазо-частотной характеристики после скачка надо просто перенести вниз.

Внимание: возведите выражение для переходной характеристики при аналитических вычислениях в куб и исполните данный ноутбук. В этом случае один и тот же пример будет вычислен двумя методами - аналитическим и приближенным. Сравните полученные характеристики и убедитесь в их идентичности.