• Суть метода пяти ординат
• Задание и построение нелинейной передаточной характеристики
• Построение графика u[x] и отсчетов
• Расчет постоянной составляющей и амплитуд гармоник y[t]
• Расчет коэффициента гармоник
• Спектральный синтез по методу пяти ординат
• Оценка погрешности спектрального синтеза
• Табличное задание передаточной характеристики и ее интерполяция

Суть метода пяти ординат

Метод пяти ординат это инженерный метод расчета коэффициента нелинейных искажений в системах со слабой нелинйностью. Особенно широко он применяется при расчете коэффициента нелинейных искажений в усилителях, построенных на электронных лампах и транзисторах. Многие поколения разработчиков усилительной аппаратуры воспитаны на применении этого внешне очень простого метода.

Суть метода такова. Пусть на некоторую систему с передаточной характеристикой u(x), где x- входное воздействие, действует гармонический сигнал вида x[t]=X0+Cos[w*t], где X0 - постоянная составляющая сигнала, A - амплитуда сигнала w - угловая частота. Интервал измерения x от X0-A до X0+A можно разбить на 4 одинаковых подинтервала с шириной 0.5*A и таким образом получить пять равноотстоящих отсчетов входного сигнала. По ним вычисляется пять ординат функции u[x], а уже по ним амплитуды 4 гармоник и постоянная сиоставляющая выходного сигнала y[t]. Это позволяет найти коэффициент нелинейных искажений kg. Итак, схема реализации метода следующая:

     x(t)=X0+A*cos(w*t) -> u(x) -> yi -> kg

Задание и построение нелинейной передаточной характеристики

Ниже представлено задание трех видов зависимости u(x).

Только одна из этих зависимостей u[x_] используеется в расчетах. Замените имя другой зависимости на u, например записав для второй зависимости вместо uu только u. Тогда вы сможете просмотреть реализацию метода для второй зависимости. Вы можете также задать любую свою зависимость.

Теперь зададим постоянную составляющую входного сигнала и его амплитуду:

Вектор из пять равноотстоящих отсчетов в Mathematica можно получить следующим образом:

Построение графика u[x] и отсчетов

Кривая u[x] и расположение отсчетов представлены на следующем графике:

Расчет постоянной составляющей и амплитуд гармоник y[t]

Записав для каждой ординаты тригонометрический ряд Фурье можно получить систему из пяти линейных уравнений, решение которой дает постоянную составляющую зависимости y[t] - y0 и амплитуды первых четырех гармоник y1, y2,y3 и y4. Ниже представлен их расчет по известным готовым формулам:

Расчет коэффициента гармоник

Теперь можно вычислить коэффициент гармонк:

Для получения коэффициента гармоник в процентах вычисленное значение умножается на 100:

Спектральный синтез по методу пяти ординат

Обычно на этом применение метода пять ординат завершается. Считается, что для зависимостей u[x] с малой нелинейностью этот метод дает достаточную для практики точность. Потому он широко и используется на практике. При этом вместо расчета u[x] по аналитическим выражениям часто используется вектор данных d, полученный из графических построений или из экспериментальной зависимости u[x].

Мы, однако не будем верить словам. Благо Mathematica позволяет существенно расширить познания об этом давно известном методе. Прежде всего отметим, что полученные расчетом постоянную составляющую сигнала y0 и амплитуды гармоник y1, y2, y3 и y4 можно использовать для синтеза зависимости y[t] или y[x] в обобщенном виде (w*t=x):

Это позволит нам построить график, на котором одновремнно построены точная зависимость y[x], полученная как u[X0+A*Sin[x]], и приближенная зависимость y[x], полученная с помощью ряда Фурье. Ниже дано построение совмещенных графиков этих зависимостей.

Оценка погрешности спектрального синтеза

Мы также можем вычислить и представить графически относительную погрешность приближения реальной y[x] ее тригонометрическим рядом и построить график этой погрешности в интервале x от 0 до 2p (т.е. в пределах периода косинусоиды на входе нелинейной системы).

Выводы:

1. Можно лишь поражаться тому, что всего четырех гармоник вполне достаточно не только для приближенного вычисления коэффициента нелинейных искажений при гладких u[x], но и даже для синтеза по гармоникам выходной зависимости y[t]. Тем не менее приведенный выше расчет прекрасно подтверждает это.

2. Вопреки существующему мнению метод пяти ординат вполне применим не только при слабой нелинейности u(x), но и при умеренной, когда коэффициент гармоник достигает 15-20 %, что соответствует работе реальных устройств (например усилителей) в явно нелинейном режиме, когда наступает заметное ограничение сигнала.

3. Из графика погрешности отчетливо видно, что особо большой вклад в погрешность вносит первая отброшенная гармоника - пятая. Это служит серьезным основанием к применению более точных методов, например 7 и 12 ординат. Однако, стоит ли их применять на практике, если и метод 5 ординат дает уже вполне приемлемую погрешность вычисления kg?

4. Проверка реализации метода для зависимостей u[x] с характерной "ступенькой" (см. третью из даданных в начале ноутбука функцию) показывает, что эта ступенька синтезируется плохо, ибо для ее воспроизведения четырех гармоник явно недостаточно. Хотя подобные искажения в реальных усилительных устройствх стараются устранить, это тоже является поводом к использованию более сложных инженерных методов спектрального анализа.

5. Явно неудобно выполнять расчеты для одного значения амплитуды и измерять новые ординаты при повторных вычислениях. Ниже представлена реализация метода пяти ординан, в котором это неудобство устранено.

Табличное задание передаточной характеристики и ее интерполяция

Реальное применение метода пяти ординат на практике осложняется тем, что каждых новых значений X0 и A надо снимать значения пяти ординат, что довольно трудоемко и при графических построениях неточно. Не вполне удобна необходимость равномерного расположения отсчетов и привязка их количества к числу коэффициентов ряда Фурье (строго 5). Мы рассмотрим новую модификацию этого метода, позволяющую избавиться от этих недостатков, заметно облегчить подготовку данных к расчету и, главное, строить зависимости коэффициента гармоник от амплитуды входного воздействия и величины постоянной составляющей входного сигнала.

Для этого будем задавать передаточную характеристику произвольным по числу набором координат ее точек (xi,ui). Равномерность расположения узловых точек при этом не обязательна. Ниже представлена реально снятая передаточная характеристика каскада па мощном полевом транзисторе (x- напряжение на затворе, u - напряжение на стоке). Она задана массивом даных data:

data={{-2,48},{3,46.2},{7,38.9},{10,31},{13,23},{16,17},{20,13},{25,12.2}};

Используя функцию интерполяции Interpolation представим передаточную характеристику в виде непрерывной функции, аппроксимируемой полиномом пятой степени (эксперименты с другой степенью полинома поощряются):

Построим график этой зависимости вместе с исходными точками:

Теперь зададим функцию пользователя - процедуру для вычисления коэффициента гармоник методом пяти ординат для произвольно заданных X0 и A. Поскольку использована интерполяция для зависимости u[x], то расположение пяти отсчетов для вычисления амплитуд гармоник не связано с узловыми точками этой зависимости. Ниже представлена процедура, задающая реализацию метода 5 ординат для данного случая:

Ее можно использовать для вычисления коэффициента гармоник

и построения графика зависимости kg от A для разных X0. Пример такого графика для X0=10, 11 и 12 и A от 0 до 10 представлен ниже: