• Определение интеграла Дюамеля
• Реакция дифференцирующей RC-цепи на экспоненциально нарастающий перепад
• Реакция RC-цепи на синусоиду с экспоненциально спадающей амплитудой
• Реакция линейной системы на входное воздействие с разрывами
• Приближенное вычисление интеграла Дюамеля
• Вычисление реации интегрирующей RC-цепи на меандр
• Расчет реакции интегрирующей RC-цепи на прямоульный импульс
• Выводы по применению интеграла Дюамеля

Определение интеграла Дюамеля

Пусть нам надо решить следующую задачу-вычислить напряжение на выходе u2(t) некоторой линейной системы с переходной характеристикой a(t) на заданный входной сигнал u1(t) в заданный момент времени t. Введем текущее время q. Заменим сигнал u1(q) его ступенчатым приближением, как это показано на рисунке снизу c некоторым фиксированным шагом dq (на рисунке он равен 1, но может быть произвольным).

Начальное значение u1(q) создает выходной сигнал u1(q)*a0). Если в момент времени (q+dq) возникает скачок входного сигнала, то его значение можно вычислить как (du1/dq)*dq. Выходной сигнал можно вычислить умножив значение этого скачка на значение переходной характеристики, определяемое с учетом времени действия скачка до момента времени t. Это время равно t-q-dq. Просумировав реакции системы от u1(0) и всех скачков получим приближенную формулу для зависимости

Если устремить dq к нулю (число ступенек при этом будет бесконечным), то эта формула переходит в выражение:

Оно называется интегралом Дюамеля. Вообще говоря можно получить еще три подобные формулы.

Мы ограничимся первой из приведенных формул интеграла Дюамеля.

Реакция дифференцирующей RC-цепи на экспоненциально нарастающий перепад

Для примера возьмем тривиальный случай, когда сигнал u1(t) экспоненциальный перепад, а переходная характеристика - спадающая экспонента:

Этот случай соответствует вычислению реации дифференцирующей RC-цепи с постоянной времени t2=R*C на экспоненциально нарастающий перепад напряжения. Из электротехники хорошо известно, что для решения поставленной задачи можно использовать интеграл Дюамеля. Одна из четырех форм его представлена ниже:

Нетрудно заметить, что помимо общей формы записи интеграла Дюамеля под ним получено аналитическое выражение для зависимости u2(t) в общем виде. Задав конкретные значения постоянных времении t1 и t2 нетрудно вычилить любое значение u2(t) и даже построить графики зависимостей u1(t), u2(t) и a(t):

Реакция RC-цепи на синусоиду с экспоненциально спадающей амплитудой

Немного усложним задачу и вычислим реакцию дифференцирующей RC-цепи на синусоидальный сигнал с экспоненциально спадающей амппитудой

Выражение для u2(t)попрежнему получено в аналитическом виде, однако его уже нельзя назвать простым и оно представлено комплексным выражением. Увы, такова жизнь при использовании аналитических методов. Функция Simplify позволяет заметно упростить выражение для u2(t) и сделать его вещественным, хотя и довольно сложным. Пока это, однако, не мешает вычислениям и построению графиков зависимостей u2(t):

Реакция линейной системы на входное воздействие с разрывами

А теперь применим интеграл Дюамеля для вычисления u2(t) как реакции дифференцирующей RC-цепи на входное воздействие в виде разнополярных симметричных прямоугольных импульсов - зависимость u1(t) = Sign(Sin(t/t1)):

Увы, здесь нас постигла неудача - Mathematica 4 отказывается вычислять интеграл Дюамеля, в хоторый входит функция u1(t) такого вида. И неудивительно - данная функция содержит разрывы, в которых производная в подынтегральной функции устремляется в бесконечность. Разумеется можно вычислить u2(t) для любой части u1(t), где u1(t)=const, но нас интересует общее решение.

Приближенное вычисление интеграла Дюамеля

Увы, но в подобных приведенному выше случаях мы вынуждены отказываться от аналитического вычисления интегралов. И более того, от применения встроенных в Mathematica 4 функций численного интегрирования. Вы можете проверить самостоятельно, что применение функции NIntegrate в данном случае к успеху не приводит. К счастью у нас остается еще одна возможность - приближенное вычисление интеграла Дюамеля по формуле, которая является его обоснованием.

Пусть q принимает дискретные значения с шагом

Тогда для приближенного вычисления интеграла Дюамеля можно использовать формулу:

Она позволяет вычислить u2(t) для любого момента времени и построить график зависисмости u2(t):

Вычисление реации интегрирующей RC-цепи на меандр

Приведем еще один пример приближенного вычисления интеграла Дюамеля - получение реакции интегрирующей RC-цепи (напряжение снимается с конденсатора C) на меандр:

Расчет реакции интегрирующей RC-цепи на прямоульный импульс

Следующий пример иллюстрирует реакцию интегрирующей RC-цепи на прямоугольный импульс, временная зависимость которого задана с помощью функции If:

Для вычисления u2(t) воспользуемся приближенным (численным) методом вычисления интеграла Дюамеля:

Выводы по применению интеграла Дюамеля

1. Интеграл Дюамеля дает простой и наглядный способ вычисления реакции u2(t) линейной системы (цепи) на произвольное входное воздействие u1(t) при известной переходной характеристике a(t) цепи.

2. Если u1(t) и a(t) представлены аналитическими выражениями, содержащими элементарные функции, и не имеющими особенностей на отрезке [0,t], то средствами Mathematica 4 можно вычислить u2(t) в аналитическом виде. Для упрощения выражения для u2(t) можно использовать функцию Simplify.

3. Если u1(t) или a(t) содержит особенности (разрывы, устремления в бесконечность и др.), то получение аналитического выражения для u2(t) может стать невозможным и в этом случае целесообразно применять приближенную формулу для интеграла Дюамеля. Недостаток такого подхода - вычисления происходят с довольно низкой скоростью.