Список встроенных функций

Mathcad включает ряд функций для вычисления регрессии. Обычно эти функции создают кривую или поверхность определенного типа, которая в некотором смысле минимизирует ошибку между собой и имеющимися данными. Функции отличаются прежде всего типом кривой или поверхности, которую они используют, чтобы аппроксимировать данные.

В отличие от функций интерполяции, обсужденных в предыдущем разделе, эти функции не требуют, чтобы аппроксимирующая кривая или поверхность проходила через точки данных. Функции регрессии, рассмотренные в этом разделе, следовательно, гораздо менее чувствительны к ошибкам данных, чем функции интерполяции. В отличие от функций сглаживания, рассматриваемых в следующем разделе, конечный результат регрессии — функция, с помощью которой можно оценить значения в промежутках между заданными точками.

Всякий раз, когда массивы используются в любой из функций, описанных в этом разделе, убедитесь, что каждый элемент в массиве содержит определённое значение, поскольку Mathcad присваивает 0 любым элементам, которые явно не определены.

Линейная регрессия

Эти функции возвращают наклон и смещение линии, которая наилучшим образом приближает данные в смысле наименьших квадратов.  Если поместить значения x в вектор vx и соответствующие значения y в vy, то линия определяется в виде

 y = slope(vx, vy)x + intercept(vx, vy)

Рисунок 9 показывает, как можно использовать эти функции, чтобы провести линию через набор выборочных точек.
Эти функции полезны не только, когда данные по существу должны представлять линейную зависимость, но и когда они представляют экспоненциальную зависимость. Например, если x и y связаны соотношением вида

 y = Ae^kx,

можно применить эти функции к логарифму данных и использовать тот факт, что

log(y) = log(A) + kx

В этом случае

A = exp(intercept(vx, vy)) и k = slope(vx, vy)

Такое приближение взвешивает ошибки по-другому, нежели приближение показательной функцией в смысле наименьших квадратов, но обычно это — хорошая аппроксимация.

Рисунок 9: Использование функций slope и intercept для линейной регрессии.

Полиномиальная регрессия

Эти функции полезны, когда есть набор измеренных сответствующих значений y и x, между которыми ожидается полиномиальная зависимость, и нужно приблизить эти значения с помощью полинома наилучшим в определённом смысле образом.

Используйте regress, когда нужно использовать единственный полином, чтобы приблизить все данные. Функция regress допускает использование полинома любого порядка. Однако на практике не следует использовать степень полинома выше n = 4.

Так как regress пытается приблизить все точки данных, используя один полином, это не даст хороший результат, когда данные не связаны единой полиномиальной зависимостью. Например, предположим, ожидается, что зависят линейно от x в диапазоне от x₁ до x₁₀ и ведут себя подобно кубическому полиному в диапазоне от x₁₁ до x₂₀.  Если используется regress с n = 3, можно получить хорошее приближение для второй половины, но ужасное — для первой. Функция loess облегчает эти проблемы, выполняя локальное приближение. Вместо создания одного полинома, как это делает regress, loess создаёт различные полиномы второго порядка в зависимости от расположения на кривой.

Она делает это, исследуя данные в малой окрестности точки, представляющей интерес. Аргумент span управляет размером этой окрестности. По мере того как диапазон становится большим, loess становится эквивалентным regress с n = 2. Хорошее значение по умолчанию — span = 0.75.

Рисунок 10 показывает, как span влияет на приближение, выполненное функцией loess. Заметьте, что меньшее значение span лучше приближает флуктуации данных. Большее значение span сглаживает колебания данных и создаёт более гладкую приближающую функцию.

Рисунок 10: Влияние различных значений span на функцию loess.

Многомерная полиномиальная регрессия

Функции loess и regress, обсужденные в предыдущем разделе, также полезны, когда имеется набор измеренных величин z, соответствующих значениям x и y, и необходимо приблизить полиномами поверхность, проходящую через эти значения z.

Свойства этих функций описаны в предыдущем разделе. При использовании этих функций для приближения значений z, соответствующих двум независимым переменным x и y, толкования их аргументов должны быть изменены. А именно:

• Аргумент vx, который был m-мерным вектором значений x, становится матрицей, состоящей из m рядов и 2 столбцов, Mxy. Каждая строка Mxy содержит x в первом столбце и соответствующее значение y во втором столбце.
• Аргумент x для функции interp становится двумерным вектором v, чьи элементы — значения x и y, в которых нужно найти значение полиномиальной функции, представляющей наилучшее приближение данных из Mxy и vz.

Можно увеличивать число независимых переменных, просто добавляя столбцы в массив Mxy, а затем добавляя соответствующее число строк к вектору v, который передается функции interp. Функция regress может иметь любое число независимых переменных. Но когда число независимых переменных и степень полинома больше четырёх, она будет работать медленнее и требовать большего количества памяти. Функция loess допускает максимум четыре независимых переменных.

Имейте в виду, что для regress число значений данных m должно удовлетворять соотношению

где n — число независимых переменных (следовательно, число столбцов в Mxy), k — желаемая степень полинома, и m — число значений данных (следовательно, число строк в vz). Например, если имеется пять независимых переменных, и ищется приближение полиномом четвёртой степени, потребуется более чем 126 наблюдений.

Обобщенная регрессия

К сожалению, линейная или полиномиальная функции не во всех случаях подходят для описания зависимости данных. Бывает, что нужно искать эту зависимость в виде линейных комбинаций произвольных функций, ни одна из которых не является полиномом. Например, в рядах Фурье следует аппроксимировать данные, используя линейную комбинацию комплексных экспонент. Или предполагается, что данные могут быть смоделированы в виде линейной комбинации полиномов Лежандра, но только неизвестно, какие необходимо взять коэффициенты.

Функция linfit разработана, чтобы решить эти виды проблем. Если предполагается, что данные могли бы быть смоделированы в виде линейной комбинации произвольных функций

y = a₀f₀(x) + a₁f₁(x) +...+ a_nf_n(x)

следует использовать linfit, чтобы вычислить a_i. Рисунок 11 показывает пример, в котором линейная комбинация трех функций: x, x² и (x + 1)^-1 используется для моделирования некоторых данных.

Всё-таки имеются случаи, когда гибкость linfit недостаточна — данные должны быть смоделированы не линейной комбинацией данных, а некоторой функцией, чьи параметры должны быть выбраны. Например, если данные могут быть смоделированы в виде суммы

f(x) = a₁sin(2x) + a₂tanh(3x)

и всё, что нужно сделать — решить уравнение относительно неизвестных коэффициентов a₁ и a₂, значит эта проблема решается с помощью linfit.

В противоположность этому, если данные должны быть смоделированы в виде суммы

f(x) = 2sin(a₁x) + 3tanh(a₂x)

и требуется найти неизвестные параметры a₁ и a₂, то это задача для функции genfit.

Рисунок 11: Использование linfit для нахождения коэффициентов в линейной комбинации функций, приближающей данные наилучшим образом.

Всё, что можно делать с помощью linfit, можно также делать, хотя и менее удобно, с genfit. Различие между этими двумя функциями есть различие между решением системы линейных уравнений и решением системы нелинейных уравнений. Первая задача легко решается методами линейной алгебры. Вторая задача гораздо более трудная и решается итеративными методами. Это объясняет, почему genfit нуждается в векторе начальных значений в качестве аргумента, а linfit в этом не нуждается.

Рисунок 12 показывает пример, в котором genfit используется, чтобы найти экспоненту, приближающую набор данных наилучшим образом.

Рисунок 12: Использование genfit для нахождения параметров функции, доставляющих ей наилучшее приближение к данным.

Список встроенных функций