Пример 1 ~ Пример 2 ~ Пример 3 ~ Пример 4

Пример 1. Решение системы методом Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.

Пусть Ax=b, где

A= , b=

Прямой ход. 1 шаг . Максимальный по модулю элемент 1-го столбца . Переставим 1-ое и 3 - е уравнения местами:

A= , b=

Вычислим масштабирующие множители 1 шага:

и выполним преобразование матрицы и вектора:

A1=  b1=

2 шаг. Вычислим масштабирующие множители 2 шага:

    .

Второй шаг не изменяет матриц: A2=A1, b2= b1.

3 шаг. Максимальный по модулю элемент 3 столбца . Переставим 3 и 4 уравнения местами.

A2= b2=

Вычислим масштабирующие множители 3 шага:

и выполним преобразование матрицы и вектора:

A3=  b3=

Обратный ход. Из последнего уравнения находим: . Из третьего

уравнения системы находим . Из второго уравнения находим

. Неизвестное находим из первого уравнения:

Ответ: .

Решение примера в среде пакета Mathematica		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Matlab

Пример 2. Решение системы методом Холецкого.

Пусть

A= b=

Находим элементы матрицы L:

Таким образом разложение матрицы A имеет вид:

Последовательно решаем системы и . Решением 1-ой системы является вектор , а решение 2-ой системы вектор .

Ответ:    

Решение примера в среде пакета Mathematica		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Matlab

Пример 3. Разложение матриц на множители.

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 4. Решение системы уравнений методом прогонки.

Прямой ход прогонки. Вычислим прогоночные коэффициенты:

, ,

,   

, ,

,

Обратный ход прогонки. Находим значения неизвестных:

, , ,

Ответ:       .

Теоретическая справка