Пример 1 ~ Пример 2

Пример 1. Разложить функцию    в ряд Лорана по степеням z.

Решение. Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z₁ = -1 и z₂ = 3. Запишем функцию в виде

Кольца аналитичности | z | < 1, 1 < | z | < 3, | z | > 3.

Раскладываем дробь на элементарные дроби:

При | z | < 1 имеем:

Таким образом, в круге | z | < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора:

В кольце 1 < | z | < 3:

В итоге имеем:  

В круге | z | > 3:  
     

В итоге имеем:  

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica

Пример 2. Разложить функцию f(z) = z³·e^1/z в окрестности точки z₀ = 0.

Решение. Из основного разложения    получаем

или

Решение примера в среде пакета Mathcad		Теоретическая справка
Решение примера в среде пакета Mathematica