Ряд Лорана ~ Теорема Лорана ~ Неравенство Коши ~ Разложение рациональных дробей

Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням).

Функция f(z), аналитическая в кольце
r < | z - z₀ | < R,   
представляется в этом кольце сходящимся рядом по целым степеням, т.е. имеет место равенство:
         (1)

Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: (2)
где - произвольный контур, принадлежащий кольцу и охватывающий точку z₀; в частности,
- окружность  

Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f(z).

Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями  называется правильной частью ряда Лорана, члены с отрицательными степенями образуют главную часть ряда Лорана:
 или  

Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши:
 где  
r  -  радиус контура интегрирования в формуле (2).

На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f(z) - его суммы.

Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z₀ (r = 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z₀ = 0, ).

При построении разложений в ряд Лорана используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами.

ПРИМЕР 1. Разложение функции   f(z) в ряд Лорана по степеням (z - z₀).

ПРИМЕР 2. Разложение функции f(z) в ряд Лорана в окрестности особой точки z₀.