Функция-оригинал ~ Преобразование Лапласа ~ Основные свойства преобразования Лапласа ~ Алгоритм решения Задачи Коши для уравнений ~ Алгоритм решения Задачи Коши для систем

Операционное исчисление - один из наиболее эффективных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При решении операционным методом задача интегрирования линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к задаче о решении алгебраического уравнения.

Функцией-оригиналом называется функция  f (x) для которой справедливо:
f (x) непрерывна при неотрицательных x, за исключением, быть может конечного числа точек, f (x) = 0 при x<0, существуют такие постоянные M и a, что при всех неотрицательных x.

Преобразованием Лапласа функции f (x) называется функция

Функция F (p) называется изображением функции f (x), а функция f (x) - оригиналом для F (p).

ПРИМЕР 1. Отыскание изображения и оригинала.

Основные свойства преобразования Лапласа, используемые при решении дифференциальных уравнений следующие:

• оригинал восстанавливется по изображению единственным образом, с точностью до значений в точках разрыва - теорема единственности;
• если F (p) и G (p) - изображения соответственно для f (x) и g (x), то изображением для af (x) + bg (x) является aF (p) + bG (p) - линейность преобразования Лапласа;
• изображением для производной f ⁽ⁿ⁾(x) является функция pⁿF(p) - pⁿ-1f (0) - pⁿ-2f '(0) -...-  pf ^(n-2)(0) - f ^(n-1)(0) - изображение производных;
• если F (p) изображения для f (x), то для любого a>0 изображением для f (x-a) является  - теорема запаздывания.

Рассмотри задачу Коши:

a₁, a₂, ..., a_n - постоянные.

Алгоритм решения задачи Коши для уравнений операционным методом состоит в следующем. Обрзначим Y (p) и F (p) изображения для y (x) и f (x).
Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим:
или, A (p)Y (p) + B (p) = F (p), где A (p) и B (p) - многочлены.
Отсюда:

и искомое решение задачи Коши y (x) является оригиналом для Y (p).

ПРИМЕР 2. Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Совершенно аналогично операционное исчисление применяется к решению задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотри задачу Коши:

A- постоянна матрица размерности n.n.

Алгоритм решения задачи Коши для систем операционным методом состоит в следующем.
Обозначим изображения для - компонентами вектор-функций являются изображения соответствующих компонент вектор-функций . Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим:

,
где E - единичная матрица, - обратная матрица к матрице. Тогда искомое решение задачи Коши является оригиналом для .

ПРИМЕР 3. Решение задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.