Функция-оригинал ~ Преобразование Лапласа ~ Основные свойства преобразования Лапласа ~ Алгоритм решения Задачи Коши для уравнений. Алгоритм решения Задачи Коши для систем

Операционное исчисление — один из наиболее экономичных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При решении операционным методом задача интегрирования линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами сводится к задаче о решении алгебраического уравнения.

Функцией-оригиналом называется функция  f(x) для которой справедливо:
f(x) непрерывна при неотрицательных x, за исключением, быть может конечного числа точек,
f(x)=0 при x<0,
существуют такие постоянные M и a, что

при всех неотрицательных x.

Преобразованием Лапласа функции f(x) называется функция

Функция F(p) называется изображением функции f(x), а функция f(x) - оригиналом для F(p).

ПРИМЕР 1. Отыскание изображения и оригинала.

Основные свойства преобразования Лаплалса, используемые при решении дифференциальных уравнений следующие:

• оригинал восстанавливется по изображению единственным образом, с точностью до значений в точках разрыва - теорема единственности;
• если F(p) и G(p) - изображения соответственно для f(x) и g(x), то изображением для
  af(x)+bg(x)
  является aF(p) +bG(p) - линейность преобразования Лапласа;
• изображением для производной f ⁽ⁿ⁾(x) является функция
  pⁿF(p)-pⁿ-1f(0)-pⁿ-2f'(0)- …- pf ^(n-2)(0)-f ^(n-1)(0) - изображение производных;
• если F(p) изображения для f(x), то для любого a>0 изображением для f(x-a) является - теорема запаздывания.

Рассмотри задачу Коши:

a₁, a₂, …, a_n - постоянные.

Алгоритм решения задачи Коши для уравнений операционным методом состоит в следующем. Обозначим Y(p) и F(p) изображения для y(x) и f(x).
Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим:
или, A(p)Y(p)+B(p) = F(p), где A(p) и B(p) - многочлены.
Отсюда:

и искомое решение задачи Коши y(x) является оригиналом для Y(p).

ПРИМЕР 2. Решение задачи Коши для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.

Совершенно аналогично операционное исчисление применяется к решению задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим задачу Коши:

A- постоянна матрица размерности n·n.

Алгоритм решения задачи Коши для систем операционным методом состоит в следующем.
Обозначим изображения для - компонентами вектор-функций являются изображения соответствующих компонент вектор-функций . Тогда по основным свойствам преобразования Лапласа, переходя к изображениям, получим:

,
где E - единичная матрица, - обратная матрица к матрице .

Тогда искомое решение задачи Коши является оригиналом для .

ПРИМЕР 3. Решение задачи Коши для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.