Пример жесткой системы ~ Условие жесткости системы

В вычислительной практике часто встречаются системы дифференциальных уравнений, которые принято называть жесткими.
Не приводя точного определения жесткой системы, проиллюстрируем содержание этого понятия и возникающие проблемы на примере жесткой линейной системы двух дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Пусть требуется численно решить задачу Коши
y'₁ = -2y₁ -   998 y₂ ,
y'₂ =         - 1000y₂ ,
y₁ (0) = 2,  y₂ (0)=1.
Эту задачу можно записать в матричной форме в виде:

где

искомое решение,

матрица системы,

значение решения в начальной точке x = 0 — начальное условие.

Легко видеть, что точное решение системы имеет вид:
y₁ (x) = exp(-2x) + exp(-1000x),
y₂ (x) = exp(-1000x).
Слагаемое
exp(-1000x)
убывает очень быстро,
а слагаемое exp(-2x) — гораздо медленнее.

Попытаемся найти решение этой задачи методом Рунге-Кутты с различными шагами. Графики полученных решений и графики точного решения приведены ниже (график точного решения - справа).

Видно, что полученные приближенные решения уже на первых шагах содержат большие ошибки. Для получения правдоподобного результата на отрезке [0, 0.1] нужно выбирать шаг, меньший 0.003. Это означает, что для достаточно большого интервала интегрирования потребуется выполнить вычисления для очень большого числа шагов. Казалось бы, можно избежать интегрирования на всем промежутке с малым шагом: вести вычисления с малым шагом до тех пор, пока компонента
exp(-1000x)
станет пренебрежимо малой, а затем увеличить шаг и до конца промежутка интегрирования вести вычисления с большим шагом. Оказывается, что на самом деле это совсем не так. Вторая компонента заставляет вести интегрирование с малым шагом на всем промежутке интегрирования. Это и означает, что система жесткая. Жесткость системы проявляется тогда, когда длина промежутка интегрирования T  удовлетворяет соотношению
где l_max — наибольшее по абсолютной величине собственное число матрицы системы A. Для интегрирования жестких систем необходимо применять специально разработанные методы.

ПРИМЕР 1.   Интегрирование жесткой системы дифференциальных уравнений.

В примере рассмотрена линейная жесткая система. Однако специальные методы решения жестких систем, как правило, универсальны, т.е. применяются для решения как линейных так и нелинейных систем.