Решение ~ Общее и частное решение ~ Интегральная кривая ~ Поле направлений ~ Задача Коши ~ Теорема существования и единственности ~ Нормальная форма

Обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

F(x, y, y' )=0,     

где F — известная функция трех переменных, определенная в области G из R³,   x — независимая переменная из интервала (a, b), y(x) — неизвестная функция, y'(x) — ее производная.  

Обыкновенные дифференциальные уравнения, разрешенные относительно производной, т.е. уравнения вида 

y'=f(x, y)

называют уравнениями в нормальной форме.

ПРИМЕР 1. Различные формы записи дифференциальных уравнений первого порядка.

Функция y=y(x) называется решением дифференциального уравнения, если она непрерывно дифференцируема на (a, b) и при всех x из (a, b) удовлетворяет уравнению F(x, y(x), y'(x))=0.

ПРИМЕР 2. Проверка правильности решения дифференциального уравнения первого порядка.

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

ПРИМЕР 3. Интегральные кривые и графики решений дифференциальных уравнений.

Для дифференциального уравнения y'=f(x, y), правая часть которого f(x, y) и ее частная производная по y непрерывны в некоторой области D имеет место геометрическая интерпретация, называемая полем направлений.

Если через каждую точку (x, y) области D провести некоторый отрезок l(x, y) с угловым коэффициентом, равным значению правой части f(x, y) в точке (x, y), то получится изображение, которое называется "полем направлений". Любая интегральная кривая y=y(x) в каждой своей точке (x, y(x)) касается отрезка l(x, y).

ПРИМЕР 4. Поле направлений и интегральные кривые.

Если дифференциальное уравнение первого порядка y'=f(x, y), имеет решение, то   решений у него, вообще говоря, бесконечно много и эти решения могут быть записаны в виде y=y(x,C), где C — произвольная константа.
Выражение y(x,C) называют общим решением дифференциального уравнения 1-го порядка:
при всех допустимых значениях C функция y=y(x,C) является решением уравнения,
y'(x,C)=f(x, y(x, C));
для любого наперед заданного решения y=f(x) найдется такое значение константы C, C=С*, что y(x,C*)=f(x).  

ПРИМЕР 5. Общее решение дифференциального уравнения.

Однако, если поставить задачу: найти решение, удовлетворяющее условию y(x₀)=y₀, то при определенных условиях такая задача имеет единственное решение.  Задача об отыскании решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющего начальному условию y(x₀)=y₀, называется задачей Коши. Решение задачи Коши называют частным решением.

Справедлива следующая теорема существования и единственности решения задачи Коши. 

Если функция f(x, y) и ее частная производная по y непрерывны в области D, (x₀, y₀)ОD, то на некотором интервале (x₀-h, y₀+h) существует единственное решение y=y(x) уравнения y'=f(x, y), удовлетворяющее начальному условию y(x₀)=y₀.

Теорема существования и единственности имеет простую геометрическую интерпретацию: если условия теоремы выполнены в области D, то через каждую точку (x₀, y₀)ОD проходит только одна интегральная кривая y=y(x,C₀) семейства y=y(x,C) такая, что y(x₀,C₀)=y₀.

ПРИМЕР 6. Пример нарушения единственности решения задачи Коши.