Производные высших порядков ~ Дифференциалы высших порядков ~ Понятие инвариантности формы дифференциала

Производные высших порядков.

Рассмотрим функцию  , определенную на некотором промежутке  . Вычислим производную , которая также является функцией на . Производной второго порядка от функции называется производная от ее производной:   . Аналогично определяют производную любого порядка:  .

ПРИМЕР 1.  Вычисление производных высших порядков

Дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим дифференциал функции в произвольной точке промежутка : . Здесь - приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Сам же дифференциал есть функция от , и можно вычислить дифференциал от этой функции:  При этот дифференциал от дифференциала называется дифференциалом второго порядка и вычисляется по формуле Аналогично вычисляется дифференциал любого порядка .

ПРИМЕР 2.  Вычисление дифференциалов высших порядков

Понятие инвариантности формы дифференциала.

Рассмотрим дифференциал функции в произвольной точке промежутка : . Здесь - приращение независимой переменной, которое является числом и не зависит от . Пусть теперь  - функция независимого переменного , определенная на промежутке . Тогда  - сложная функция переменного . Вычислим ее дифференциал, используя формулу для производной сложной функции: . Заметим, что и выражение для дифференциала принимает ту же форму , хотя здесь уже функция переменного  . Это свойство дифференциала первого порядка называется инвариантностью (т.е. неизменностью) его формы. При вычислении дифференциала второго порядка придется учитывать, что  - функция переменного  . Поэтому и форма второго (а также и всех следующих) дифференциала неинвариантна.