Производная сложной функции ~ Производная обратной функции

Производная сложной функции.

Пусть   - функция, дифференцируемая в точке  ,  - функция, дифференцируемая в точке  , причем  . Тогда  - сложная функция независимого переменного , дифференцируема в точке    и ее производная в этой точке вычисляется по формуле   .

Обычно    называют внешней функцией, а - внутренней. При вычислении производной сложной функции сначала дифференцируют внешнюю функцию, не обращая внимания на внутреннюю (ведь она может быть любой), затем умножают на производную конкретной внутренней функции.

ПРИМЕР 1.  Вычисление производных сложных функций

Производная обратной функции.

Пусть функция дифференцируема и строго монотонна на . Пусть также в точке производная . Тогда в точке   определена дифференцируемая функция , которую называют обратной к  , а ее производная вычисляется по формуле .

ПРИМЕР 2.  Вычисление производных обратной функции