Синтаксис:

             H = hilb(n)
             H = invhilb(n)

Описание:

Функция H = hilb(n) формирует матрицу Гильберта порядка n. Элементы этой матрицы определяются следующим образом:

                     H(i, j) =.

Матрица Гильберта - это пример очень плохо обусловленной по отношению к операции обращения матрицы [1].

Функция H = invhilb(n) формирует матрицу, обратную матрице Гильберта порядка n. Точная обратная матрица - это матрица, элементами которой являются целые числа. Точное представление такой матрицы в арифметике с плавающей точкой возможно только тогда, когда порядок матрицы не превышает 13. Для больших значений n функция invhilb(n) формирует только приближенную матрицу.

Сравнение функций invhilb(n) и inv(hilb(n)) позволяет выявить несколько источников ошибок:

• ошибки, вызванные функцией hilb(n);
• ошибки, связанные с процедурой обращения;
• ошибки, вызванные функцией invhilb(n).

Оказывается, что первый источник ошибок, связанный с представлением правильных дробей вида 1/3 или 1/5 в арифметике с плавающей точкой, наиболее существенный.

Пример:

Матрица Гильберта порядка 4 имеет число обусловленности 1.5514e+004.

Ее обратная матрица - это целочисленная матрица вида

                invhilb(4)
                ans =

а результат обращения в арифметике с плавающей точкой
           format long e,           inv(hilb(4))
           1.0e+ 003*
           ans =

Ссылки:

1. Forsythe G. E., Moler C. B. Computer Solution of Linear Algebraic Systems. Prentice-Hall, 1967.