Глобальная интерполяция ~ Кусочно-полиномиальная интерполяция ~ Определение интерполяционного сплайна ~ Дефект сплайна ~ Оценка погрешности интерполяции функции кубическими сплайнами

Глобальная и кусочно-полиномиальная интерполяция. Пусть функция  f(x) интерполируется на отрезке [a,b]. Метод решения этой задачи с помощью единого многочлена для всего отрезка называют глобальной полиномиальной интерполяцией. В вычислительной практике такой поход применяется редко в силу различных причин. Одна из причин v необходимо задать стратегию выбора узлов при интерполяции функции  f многочленами все возрастающей степени n.

Теорема Фабера. Какова бы ни была стратегия выбора узлов интерполяции, найдется непрерывная на отрезке [a,b] функция  f, для которой при . Таким образом, теорема Фабера отрицает существование единой для всех непрерывных функций стратегии выбора узлов. Проиллюстрируем сказанное примером.

Предположим, что выбираем равноотстоящие узлы, то есть , i = 0,1,...n, где . Покажем, что для функции Рунге такая стратегия является неудачной.

ПРИМЕР 1. Глобальная интерполяция функции Рунге.

На практике чаще используют кусочно-полиномиальную интерполяцию: исходный отрезок разбивается на части и на каждом отрезке малой длины исходная функция заменяется многочленом невысокой степени. Система Mathcad предоставляет возможность аппроксимации двумя важными классами функций: кусочно-линейной и сплайнами.

При кусочно-линейной интерполяции узловые точки соединяются отрезками прямых, то есть через каждые две точки , проводится полином первой степени.

ПРИМЕР 2. Кусочно-линейная интерполяция функции Рунге.

Как видно из приведенного примера этот способ приближения также имеет недостаток: в точках "стыка" двух соседних многочленов производная, как правило, имеет разрыв.

Если исходная функция была гладкой и требуется, чтобы и аппроксимирующая функция была гладкой, то кусочно-полиномиальная интерполяция неприемлема. В этом случае применяют сплайны v специальным образом построенные гладкие кусочно-многочленные функции.

Интерполяция сплайнами. Пусть отрезок [a,b] разбит точками на n частичных отрезков . Сплайном степени m называется функция , обладающая следующими свойствами:

1) функция непрерывна на отрезке [a,b] вместе со своими производными до некоторого порядка  p.

2) на каждом частичном отрезке функция совпадает с некоторым алгебраическим многочленом степени m.

Разность m-p между степенью сплайна и наивысшим порядком непрерывной на отрезке [a,b] производной называют дефектом сплайна. Кусочно-линейная функция является сплайном первой степени с дефектом, равным единице. Действительно, на отрезке [a,b] сама функция (нулевая производная) непрерывна. В то же время на каждом частичном отрезке совпадает с некоторым многочленом первой степени.

ПРИМЕР 3. Построение параболического сплайна.

Наиболее широкое распространение получили сплайны 3 степени (кубические сплайны) с дефектом равным 1 или 2. Система для осуществления сплайн-интерполяции кубическими полиномами предусматривает несколько встроенных функций. Одна из них рассмотрена в примере.

ПРИМЕР 4 . Построение сплайн-интерполяции.

Погрешность приближения кубическими сплайнами. Пусть функция f имеет на отрезке [a,b] непрерывную производную четвертого порядка и . Тогда для интерполяционного кубического сплайна справедлива оценка погрешности: .