Постановка задачи приближения функции по методу интерполяции ~ Интерполяционный многочлен Лагранжа ~ Разделенные разности~ Интерполяционный многочлен Ньютона~ Оценка погрешности интерполяции

Постановка задачи интерполяции функций.

Пусть функция y = f(x) задана таблицей своих значений:

, i=0,1,...n. Требуется найти многочлен степени n, такой, что значения функции и многочлена в точках таблицы совпадают:

, i=0,1,... n.

Справедлива теорема о существовании и единственности интерполяционного многочлена.

Одна из форм записи интерполяционного многочлена - многочлен Лагранжа:

, где

Многочлен представляет собой многочлен степени n , удовлетворяющий условию

.

Таким образом, степень многочлена равна n и при в сумме обращаются в нуль все слагаемые, кроме слагаемого с номером , равного . Поэтому многочлен Лагранжа является интерполяционным.

ПРИМЕР 1.Построение многочлена Лагранжа.

Другая форма записи интерполяционного многочлена - интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями. Пусть функция f задана с произвольным шагом и

точки таблицы занумерованы в произвольном порядке. Величины

называют разделенными разностями первого порядка. Разделенные разности второго порядка определяются формулой:

.

Определение разделенной разности порядка таково:

.

Используя разделенные разности, интерполяционный многочлен Ньютона можно записать в следующем виде:

ПРИМЕР 2. Построение интерполяционного многочлена Ньютона с разделенными разностями.

Величину называют погрешностью интерполяции или остаточным членом интерполяции.

Оценка погрешности интерполяции.

Если функция n+1 раз на отрезке [a,b] , содержащем узлы интерполяции , i=0,1,...n, то для погрешности интерполяции справедлива оценка:

. Здесь , .

Эта оценка показывает, что для достаточно гладкой функции при фиксированной степени интерполяционного многочлена погрешность интерполяции стремится к нулю не медленнее, чем величина, пропорциональная . Этот факт формулируют так: интерполяционный многочлен степени n аппроксимирует функцию с (n+1) порядком точности относительно .

ПРИМЕР 3. Использование остаточного члена интерполяции.

В практическом плане формула Ньютона обладает преимуществами перед формулой Лагранжа. Предположим, что в необходимо увеличить степень многочлена на единицу, добавив в таблицу еще один узел . При использовании формулы Лагранжа это приводит к необходимости вычислять каждое слагаемое заново. Для вычисления достаточно добавить к лишь очередное слагаемое: . Если функция f достаточно гладкая, то справедливо приближенное равенство . Это равенство можно использовать для практической оценки погрешности интерполяции :_.